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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Matemática) do ITA 2008

Matemática · Matemática: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} i : unidade imaginária; i^2 = -1
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos \operatorname{Re} z : parte real de z \in \mathbb{C}
\emptyset : conjunto vazio \operatorname{Im} z : parte imaginária de z \in \mathbb{C}
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\} I : matriz identidade
(a, b) = {]a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a < x < b\} A^{-1} : inversa da matriz inversível A
[a, b) = {[a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a \le x < b\} A^t : transposta da matriz A
(a, b] = {]a, b]} = \{x \in \mathbb{R}; a < x \le b\} \det A : determinante da matriz A
A - B = \{x \in A; x \notin B\} A^C : complementar de A

\mathcal{P}(A) : coleção de todos os subconjuntos de A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\frown}{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

O conjunto imagem e o período de f(x) = 2\text{ sen}^2 (3x) + \text{sen}(6x) - 1 são, respectivamente,

  1. A
    [-3, 3] e 2\pi
  2. B
    [-2, 2] e \dfrac{2\pi}{3}
  3. C
    [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] e \dfrac{\pi}{3}
  4. D
    [-1, 3] e \dfrac{\pi}{3}
  5. E
    [-1, 3] e \dfrac{2\pi}{3}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Use a identidade do arco duplo: \cos(2\theta) = 1 - 2\,\text{sen}^2\theta, ou seja, 2\,\text{sen}^2\theta - 1 = -\cos(2\theta).

Com \theta = 3x:

  1. 2\,\text{sen}^2(3x) - 1 = -\cos(6x).
  2. Então f(x) = \text{sen}(6x) - \cos(6x).

Agora escreva na forma a\,\text{sen}\,u + b\cos u, que tem amplitude \sqrt{a^2+b^2}. Aqui a = 1 e b = -1:

\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}

Assim, f(x) = \sqrt{2}\,\text{sen}\left(6x - \dfrac{\pi}{4}\right).

O seno varia de -1 a 1, então o conjunto imagem é [-\sqrt{2}, \sqrt{2}].

O período de \text{sen}(6x - \pi/4) é \dfrac{2\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}.

Conjunto imagem [-\sqrt{2},\sqrt{2}] e período \dfrac{\pi}{3}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASoma as amplitudes dos termos (2+1) sem reduzir a expressão e usa o período de sen x.
  • BImagem e período não correspondem à função reduzida; a amplitude é \sqrt{2}, não 2, e o período é \pi/3.
  • DTrata 2\,\text{sen}^2(3x) como se variasse de 0 a 2 e soma com o resto, ignorando que os termos se combinam; imagem errada.
  • EImagem errada, pelo mesmo motivo de D, e período calculado como 2\pi/3, que seria o de sen(3x).

Assuntos: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas, Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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Fonte: ITA 2008 · Matemática. Prova oficial ↗