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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Matemática) do ITA 2008

Matemática · Matemática: Cônicas e lugares geométricos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} i : unidade imaginária; i^2 = -1
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos \operatorname{Re} z : parte real de z \in \mathbb{C}
\emptyset : conjunto vazio \operatorname{Im} z : parte imaginária de z \in \mathbb{C}
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\} I : matriz identidade
(a, b) = {]a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a < x < b\} A^{-1} : inversa da matriz inversível A
[a, b) = {[a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a \le x < b\} A^t : transposta da matriz A
(a, b] = {]a, b]} = \{x \in \mathbb{R}; a < x \le b\} \det A : determinante da matriz A
A - B = \{x \in A; x \notin B\} A^C : complementar de A

\mathcal{P}(A) : coleção de todos os subconjuntos de A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\frown}{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

Dada a cônica \lambda : x^2 - y^2 = 1, qual das retas abaixo é perpendicular à \lambda no ponto P = (2, \sqrt{3})?

  1. A
    y = \sqrt{3}(x - 1)
  2. B
    y = \dfrac{\sqrt{3}}{2}x
  3. C
    y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x + 1)
  4. D
    y = \dfrac{-\sqrt{3}}{5}(x - 7)
  5. E
    y = \dfrac{-\sqrt{3}}{2}(x - 4)
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Uma reta é perpendicular a uma curva num ponto quando é perpendicular à tangente da curva nesse ponto, isto é, é a reta normal.

Conferindo: P=(2,\sqrt{3}) pertence a \lambda, pois 2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1.

  1. Derivando implicitamente x^2-y^2=1: 2x-2y\,y'=0, logo y'=\dfrac{x}{y}.
  2. Em P, a inclinação da tangente é m_t=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
  3. A normal tem inclinação m_n=-\dfrac{1}{m_t}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  4. Equação da normal por P: y-\sqrt{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}(x-2), ou seja, y=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}+\sqrt{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+2\sqrt{3}.
  5. Colocando -\dfrac{\sqrt{3}}{2} em evidência: y=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}(x-4).

Verificação: em x=2, a alternativa E dá y=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}(-2)=\sqrt{3}, passando por P, e com a inclinação correta.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Atem inclinação \sqrt{3}, que não é -\sqrt{3}/2; além disso passa por (2,\sqrt{3}) só por acaso, mas não é a normal.
  • Btem inclinação \sqrt{3}/2, sem o sinal negativo, e não passa por P (dá y=\sqrt{3} em x=2, mas não é perpendicular).
  • Ctem inclinação \sqrt{3}/3 e não passa por P: em x=2 dá y=\sqrt{3}, mas a inclinação não é a da normal.
  • Dinclinação -\sqrt{3}/5 não é o oposto do inverso de 2/\sqrt{3}, embora a reta passe por P.

Assuntos: Cônicas e lugares geométricos, Ponto e reta no plano cartesiano.

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Fonte: ITA 2008 · Matemática. Prova oficial ↗