Correção FUVEST 2027 · 1ª faseAcompanhe a resolução de cada questão da 1ª fase, ao vivoAcompanhar
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Matemática) do ITA 2008

Matemática · Matemática: Identidades, adição de arcos e arco duplo

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} i : unidade imaginária; i^2 = -1
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos \operatorname{Re} z : parte real de z \in \mathbb{C}
\emptyset : conjunto vazio \operatorname{Im} z : parte imaginária de z \in \mathbb{C}
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\} I : matriz identidade
(a, b) = {]a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a < x < b\} A^{-1} : inversa da matriz inversível A
[a, b) = {[a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a \le x < b\} A^t : transposta da matriz A
(a, b] = {]a, b]} = \{x \in \mathbb{R}; a < x \le b\} \det A : determinante da matriz A
A - B = \{x \in A; x \notin B\} A^C : complementar de A

\mathcal{P}(A) : coleção de todos os subconjuntos de A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\frown}{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

Sendo [-\pi/2, \pi/2] o contradomínio da função arcoseno e [0, \pi] o contradomínio da função arcocosseno, assinale o valor de

\cos \left( \operatorname{arcsen} \frac{3}{5} + \arccos \frac{4}{5} \right).
  1. A
    \frac{1}{\sqrt{12}}
  2. B
    \frac{7}{25}
  3. C
    \frac{4}{15}
  4. D
    \frac{1}{\sqrt{15}}
  5. E
    \frac{1}{2\sqrt{5}}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Chame \alpha = \operatorname{arcsen}\frac{3}{5} e \beta = \arccos\frac{4}{5}. Queremos \cos(\alpha+\beta), e a fórmula é

\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sen\alpha\,\sen\beta.

O arcoseno devolve ângulos em [-\pi/2,\pi/2] e o arcocosseno, em [0,\pi]. Como os valores \frac35 e \frac45 são positivos, os dois ângulos estão no primeiro quadrante. Logo, seno e cosseno de ambos são positivos.

  1. De \sen\alpha=\frac35: \cos\alpha=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac45.
  2. De \cos\beta=\frac45: \sen\beta=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac35.
  3. Substituindo:
\cos(\alpha+\beta)=\frac45\cdot\frac45-\frac35\cdot\frac35=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}.

Observe que \alpha=\beta, pois o triângulo 3-4-5 dá o mesmo ângulo nos dois casos. Então a conta equivale a \cos 2\alpha = 1-2\sen^2\alpha = 1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}, o que confirma o resultado.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a fórmula do cosseno da soma; não sai das contas com 3/5 e 4/5.
  • CNão resulta de nenhuma combinação correta dos valores 3/5 e 4/5 na fórmula.
  • DValor sem origem na fórmula, provavelmente de erro ao manipular os radicais.
  • EValor sem origem na fórmula, provavelmente de erro ao manipular os radicais.

Assuntos: Identidades, adição de arcos e arco duplo, Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 11 no caderno Matemática do ITA 2008

Fonte: ITA 2008 · Matemática. Prova oficial ↗