Questão 4 (Física) da 2ª fase do ITA 2026

Question

Considere um objeto de massa m que descreve uma trajetória elíptica sob a influência de uma estrela de massa M (M \gg m). Devido a instabilidades internas, ele se separa em duas partes de massas m_1 e m_2, com m_1 = 4\,m_2. Em um determinado instante, as posições das massas m_1 e m_2 são, respectivamente, dadas por P_1 = \left(\frac{3a}{4}, \frac{b}{4}\right) e P_2 = (a, y_2), em que a é o semieixo maior, b é o semieixo menor e os focos da elipse descrita originalmente por m estão no eixo x.

Considerando que a origem do sistema de coordenadas coincide com o centro da elipse, determine

a) y_2;

b) a menor energia potencial gravitacional possível do sistema nesse instante.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Física) da 2ª fase do ITA 2026

Física · Física: Gravitação universal e satélites

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2.
Permeabilidade magnética no vácuo \mu_0 = 4\pi\ 10^{-7}\ \text{N.A}^{-1}

Considere um objeto de massa m que descreve uma trajetória elíptica sob a influência de uma estrela de massa M (M \gg m). Devido a instabilidades internas, ele se separa em duas partes de massas m_1 e m_2, com m_1 = 4\,m_2. Em um determinado instante, as posições das massas m_1 e m_2 são, respectivamente, dadas por P_1 = \left(\frac{3a}{4}, \frac{b}{4}\right) e P_2 = (a, y_2), em que a é o semieixo maior, b é o semieixo menor e os focos da elipse descrita originalmente por m estão no eixo x.

Considerando que a origem do sistema de coordenadas coincide com o centro da elipse, determine

a) y_2;

b) a menor energia potencial gravitacional possível do sistema nesse instante.

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Resolução comentada

a) Quando o objeto se parte, o centro de massa do sistema continua sobre a trajetória elíptica original. Logo, o centro de massa satisfaz \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.

Com m_1=4m_2, a massa total é m=5m_2. A coordenada x do centro de massa é:

x_{cm}=\frac{4m_2\cdot\frac{3a}{4}+m_2\,a}{5m_2}=\frac{4a}{5}

Substituindo na equação da elipse:

\frac{y_{cm}^2}{b^2}=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}\ \Rightarrow\ y_{cm}=\pm\frac{3b}{5}

A coordenada y do centro de massa também vale:

y_{cm}=\frac{4\cdot\frac b4+y_2}{5}=\frac{b+y_2}{5}

Igualando, y_2=5y_{cm}-b=\pm3b-b. Há duas possibilidades:

y_2=2b ou y_2=-4b

b) A energia potencial do sistema tem três parcelas: a atração de m_1 e de m_2 pela estrela e a interação mútua entre m_1 e m_2. A estrela está em um dos focos, (\pm c,0), com c=\sqrt{a^2-b^2}.

A energia é a mais negativa (menor) quando as distâncias são as menores possíveis. Isso ocorre para:

y_2=2b, que aproxima m_2 da estrela e de m_1, em comparação com y_2=-4b;
a estrela no foco (c,0), o mais próximo das partículas, que têm x>0.

Com essas escolhas, as distâncias são:

r_1=\sqrt{\left(\frac{3a}{4}-c\right)^2+\frac{b^2}{16}}=\frac14\sqrt{(3a-4c)^2+b^2}
r_2=\sqrt{(a-c)^2+4b^2}
d=\sqrt{\frac{a^2}{16}+\frac{49b^2}{16}}=\frac14\sqrt{a^2+49b^2}

As massas são m_1=\frac{4m}{5} e m_2=\frac m5. A energia potencial é:

U=-\frac{GMm_1}{r_1}-\frac{GMm_2}{r_2}-\frac{Gm_1m_2}{d}

Substituindo:

U_{min}=-GMm\left[\frac{16}{5\sqrt{(3a-4c)^2+b^2}}+\frac{1}{5\sqrt{(a-c)^2+4b^2}}\right]-\frac{16\,Gm^2}{25\sqrt{a^2+49b^2}}

onde c=\sqrt{a^2-b^2}.

Assuntos: Gravitação universal e satélites, Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas.

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Questão 4 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2026

Fonte: ITA 2ª fase 2026 · Física. Prova oficial ↗