Questão 6 (Física) da 2ª fase do ITA 2025

Question

Uma sonda tripulada foi projetada para resistir ao calor da atmosfera de mercúrio, que pode atingir uma temperatura T_0 = 430\text{ }^\text{o}\text{C}. A sonda tem uma estrutura semelhante à de uma casca esférica composta por duas camadas, como mostra a figura. A camada externa, de espessura d_1, é composta por um material rígido de condutividade térmica K_1. A camada interna, de espessura d_2, é composta por um material termorresistente e isolante térmico de condutividade térmica K_2. O raio externo da estrutura é igual a R.

Corte transversal da casca esférica da sonda apoiada sobre o solo, indicando a camada externa de espessura d₁, a camada interna de espessura d₂ e o raio externo R medido a partir do centro.

Considerando a situação descrita acima, faça o que se pede nos itens a seguir.

a) Expresse a condutividade térmica efetiva da sonda em função de R, K_1, K_2 e d, em que d = d_1 = d_2 e R \gg d.

b) Estime a potência, em \text{kW}, que um refrigerador deve ter para manter a temperatura interna da sonda em T_i = 23\text{ }^\text{o}\text{C}, assumindo que R = 20\text{ m}, d_1 = d_2 = 30\text{ cm}, K_1 = 50\text{ W/(m }^\text{o}\text{C)}, K_2 = 0{,}020\text{ W/(m }^\text{o}\text{C)} e que a máquina refrigeradora tem um coeficiente de performance ideal.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Física) da 2ª fase do ITA 2025

Física · Física: Propagação de calor: condução, convecção e irradiação

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2.
Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0\times 10^8\ \text{m/s}.
Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2.
Massa da Terra M_{Terra} = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}.
Raio da Terra R_{Terra} = 6{,}4 \times 10^6\ \text{m}.
Permissividade elétrica no vácuo \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\ \text{C}^2\cdot\text{N}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}.
Energia de ionização do átomo de hidrogênio I_H = 13{,}6\ \text{eV}.
Massa do próton m_p = 1{,}6 \times 10^{-27}\ \text{kg} = 938\ \text{MeV}/c^2.
Carga elementar e = 1{,}6 \times 10^{-19}\ \text{C}.

Uma sonda tripulada foi projetada para resistir ao calor da atmosfera de mercúrio, que pode atingir uma temperatura T_0 = 430\text{ }^\text{o}\text{C}. A sonda tem uma estrutura semelhante à de uma casca esférica composta por duas camadas, como mostra a figura. A camada externa, de espessura d_1, é composta por um material rígido de condutividade térmica K_1. A camada interna, de espessura d_2, é composta por um material termorresistente e isolante térmico de condutividade térmica K_2. O raio externo da estrutura é igual a R.

Corte transversal da casca esférica da sonda apoiada sobre o solo, indicando a camada externa de espessura d₁, a camada interna de espessura d₂ e o raio externo R medido a partir do centro.

Considerando a situação descrita acima, faça o que se pede nos itens a seguir.

a) Expresse a condutividade térmica efetiva da sonda em função de R, K_1, K_2 e d, em que d = d_1 = d_2 e R \gg d.

b) Estime a potência, em \text{kW}, que um refrigerador deve ter para manter a temperatura interna da sonda em T_i = 23\text{ }^\text{o}\text{C}, assumindo que R = 20\text{ m}, d_1 = d_2 = 30\text{ cm}, K_1 = 50\text{ W/(m }^\text{o}\text{C)}, K_2 = 0{,}020\text{ W/(m }^\text{o}\text{C)} e que a máquina refrigeradora tem um coeficiente de performance ideal.

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Resolução comentada

a) As duas camadas estão em série, porque o mesmo fluxo de calor atravessa uma e depois a outra. Como R\gg d, a casca é fina, e a área é praticamente a mesma nas duas camadas e na casca toda: A\approx 4\pi R^2.

Em série, as resistências térmicas se somam. Para uma camada, R_{term}=\dfrac{e}{KA}, em que e é a espessura. Para a casca inteira, de espessura 2d e condutividade efetiva K:

\frac{2d}{KA}=\frac{d}{K_1A}+\frac{d}{K_2A}\;\Rightarrow\;\frac{2}{K}=\frac{1}{K_1}+\frac{1}{K_2}

K=\frac{2K_1K_2}{K_1+K_2}

O resultado não depende de R nem de d. O raio só entra na área, que fica no cálculo do fluxo.

Resposta: K_{ef}=\dfrac{2K_1K_2}{K_1+K_2}

b) O refrigerador precisa retirar da sonda o mesmo calor que entra por condução. Esse calor é o fluxo pela casca, com \Delta T = 430-23=407\ ^\circ\text{C} e A=4\pi R^2=4\pi(20)^2\approx 5{,}03\times10^3\ \text{m}^2:

\Phi=\frac{A\,\Delta T}{\dfrac{d_1}{K_1}+\dfrac{d_2}{K_2}}=\frac{5{,}03\times10^{3}\cdot 407}{\dfrac{0{,}30}{50}+\dfrac{0{,}30}{0{,}020}}=\frac{2{,}05\times10^{6}}{0{,}006+15}\approx 1{,}36\times10^{5}\ \text{W}

A camada isolante domina a resistência térmica, e a camada externa quase não influencia.

Um refrigerador ideal opera como máquina de Carnot invertida. Suas temperaturas são T_f=23+273=296\ \text{K} (interior) e T_q=430+273=703\ \text{K} (exterior), então:

\text{COP}=\frac{T_f}{T_q-T_f}=\frac{296}{407}\approx 0{,}727

O COP é o calor retirado dividido pela potência consumida, logo:

P=\frac{\Phi}{\text{COP}}=1{,}36\times10^{5}\cdot\frac{407}{296}\approx 1{,}87\times10^{5}\ \text{W}

Resposta: P\approx 187\ \text{kW} (cerca de 1{,}9\times10^{2}\ \text{kW})

Assuntos: Propagação de calor: condução, convecção e irradiação, Máquinas térmicas e segunda lei da termodinâmica.

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Questão 6 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2025

Fonte: ITA 2ª fase 2025 · Física. Prova oficial ↗