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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Física) da 2ª fase do ITA 2025

Física · Física: Impulso e quantidade de movimento

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2.
Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0\times 10^8\ \text{m/s}.
Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2.
Massa da Terra M_{Terra} = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}.
Raio da Terra R_{Terra} = 6{,}4 \times 10^6\ \text{m}.
Permissividade elétrica no vácuo \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\ \text{C}^2\cdot\text{N}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}.
Energia de ionização do átomo de hidrogênio I_H = 13{,}6\ \text{eV}.
Massa do próton m_p = 1{,}6 \times 10^{-27}\ \text{kg} = 938\ \text{MeV}/c^2.
Carga elementar e = 1{,}6 \times 10^{-19}\ \text{C}.

Considere um veículo lançador de nanossatélites (VLNS) de massa M_V a uma altitude h e com velocidade v_0, perpendicular ao raio da Terra em relação a um referencial inercial centrado na Terra. Um nanossatélite (NS) de massa m encontra-se imerso em um fluido incompressível armazenado em um tubo localizado na extremidade do VLNS, conforme a figura. O tubo possui dois diâmetros distintos: um de valor d_1 e outro de valor d_2 < d_1. Durante a ejeção, o NS acompanha a velocidade do fluido, que vale v_1 em d_1, em relação ao VLNS. Considere a massa e o raio da Terra como sendo, respectivamente, M_T e R_T, a constante da gravitação universal como G e a massa do fluido como desprezível. Determine

a) a velocidade de ejeção do NS, com relação ao VLNS, em termos de v_0, v_1, d_1 e d_2;

b) qual diâmetro d_2 permite que o NS entre em órbita circular.

Esquema mostrando a Terra e o veículo lançador de nanossatélites (VLNS) a uma altitude perpendicular ao vetor de velocidade v0. À direita, um detalhe ampliado da extremidade do VLNS mostra o tubo de diâmetros d1 e d2 contendo o nanossatélite (NS).

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Resolução comentada

a) O fluido é incompressível, então a vazão volumétrica se conserva ao longo do tubo: A_1v_1=A_2v_2. A área da seção é A=\pi d^2/4, e portanto

\frac{\pi d_1^2}{4}v_1=\frac{\pi d_2^2}{4}v_2\ \Rightarrow\ v_2=v_1\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2 .

Como o NS acompanha o fluido, v_2 é a velocidade de ejeção em relação ao VLNS. Ela não depende de v_0, que é a velocidade do veículo em relação à Terra. Esse dado só é usado no item b.

Velocidade de ejeção: v_2=v_1\,d_1^2/d_2^2

b) Considero a ejeção para a frente, na direção de v_0, como na figura. Para a órbita circular de raio r=R_T+h, a velocidade do NS em relação à Terra deve ser tangente ao raio e ter módulo

v_{orb}=\sqrt{\frac{GM_T}{R_T+h}} .

Isso vem da igualdade entre a gravidade e a força centrípeta: \dfrac{GM_Tm}{r^2}=\dfrac{mv^2}{r}.

A massa do fluido é desprezível, mas o NS tem massa m. Na ejeção o sistema VLNS + NS está isolado na direção tangente, então o momento linear se conserva. Seja V' a velocidade do VLNS após a ejeção. A velocidade do NS é V'+v_2, e

(M_V+m)v_0=M_VV'+m(V'+v_2)\Rightarrow V'=v_0-\frac{m\,v_2}{M_V+m}.

Logo, a velocidade do NS em relação à Terra é

v_{NS}=V'+v_2=v_0+\frac{M_V}{M_V+m}v_2 .

Impondo v_{NS}=v_{orb}:

v_2=\frac{M_V+m}{M_V}\left(\sqrt{\frac{GM_T}{R_T+h}}-v_0\right).

Usando o item a, v_2=v_1d_1^2/d_2^2, então

d_2=d_1\sqrt{\frac{v_1}{v_2}}=d_1\sqrt{\frac{M_V\,v_1}{(M_V+m)\left(\sqrt{\dfrac{GM_T}{R_T+h}}-v_0\right)}}

Isso exige v_0<v_{orb}, para que a ejeção para a frente seja a que leva o NS à órbita circular.

d_2=d_1\sqrt{\dfrac{M_V\,v_1}{(M_V+m)\left(\sqrt{GM_T/(R_T+h)}-v_0\right)}}

Assuntos: Impulso e quantidade de movimento, Gravitação universal e satélites, Hidrodinâmica: vazão e Bernoulli.

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Fonte: ITA 2ª fase 2025 · Física. Prova oficial ↗