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Questão 4 (Física) da 2ª fase do ITA 2025

Física · Física: Colisões

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2.
Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0\times 10^8\ \text{m/s}.
Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2.
Massa da Terra M_{Terra} = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}.
Raio da Terra R_{Terra} = 6{,}4 \times 10^6\ \text{m}.
Permissividade elétrica no vácuo \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\ \text{C}^2\cdot\text{N}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}.
Energia de ionização do átomo de hidrogênio I_H = 13{,}6\ \text{eV}.
Massa do próton m_p = 1{,}6 \times 10^{-27}\ \text{kg} = 938\ \text{MeV}/c^2.
Carga elementar e = 1{,}6 \times 10^{-19}\ \text{C}.

Um objeto de massa m se movimenta em direção a outro objeto de massa M inicialmente em repouso. Após a colisão, a velocidade dos objetos forma, respectivamente, ângulos \alpha e \theta com a horizontal. Faça o que se pede nos itens a seguir.

a) Determine as expressões para os módulos de \vec{v}_1 e \vec{v}_2 em função de \alpha, \theta e v.

b) Denotando a variação relativa entre a energia cinética final e inicial do sistema por \delta, determine a razão m/M em função de \theta e \delta, para \alpha = 90^\circ.

c) Calcule o valor numérico da razão M/m, para \theta = 30^\circ, \alpha = 90^\circ e perda relativa de 60\% de energia cinética depois da colisão.

Esquema da colisão: à esquerda, o objeto de massa m se move com velocidade v horizontal para a direita em direção ao objeto de massa M em repouso; à direita, após a colisão, o objeto m se move com velocidade v2 formando um ângulo alfa acima da horizontal, e o objeto M se move com velocidade v1 formando um ângulo teta abaixo da horizontal.

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Resolução comentada

a) Chame de v_2 a velocidade final de m (ângulo \alpha acima da horizontal) e de v_1 a velocidade final de M (ângulo \theta abaixo). Não há força externa no plano, então o momento linear se conserva em cada eixo:

  1. Eixo x: m v = m v_2\cos\alpha + M v_1\cos\theta
  2. Eixo y: 0 = m v_2\,\sen\alpha - M v_1\,\sen\theta

Da equação do eixo y: M v_1 \sen\theta = m v_2 \sen\alpha, ou seja, M v_1 = m v_2\,\dfrac{\sen\alpha}{\sen\theta}.

Substituindo no eixo x:

m v = m v_2\left(\cos\alpha + \frac{\sen\alpha\cos\theta}{\sen\theta}\right)=m v_2\,\frac{\sen(\alpha+\theta)}{\sen\theta}

Logo:

v_2=\frac{v\,\sen\theta}{\sen(\alpha+\theta)}

Voltando em M v_1 = m v_2 \sen\alpha/\sen\theta:

v_1=\frac{m}{M}\,\frac{v\,\sen\alpha}{\sen(\alpha+\theta)}

Observe que só a conservação do momento não elimina as massas: v_1 depende da razão m/M, enquanto v_2 não depende dela.

Resposta: v_2=\dfrac{v\,\sen\theta}{\sen(\alpha+\theta)} e v_1=\dfrac{m}{M}\dfrac{v\,\sen\alpha}{\sen(\alpha+\theta)}.

b) Com \alpha=90^\circ, temos \sen(\alpha+\theta)=\cos\theta, então:

v_2=v\,\tg\theta,\qquad v_1=\frac{m}{M}\frac{v}{\cos\theta}

A energia cinética inicial é E_i=\tfrac12 m v^2 e a final é:

E_f=\tfrac12 m v_2^2+\tfrac12 M v_1^2=\tfrac12 m v^2\left[\tg^2\theta+\frac{m}{M}\frac{1}{\cos^2\theta}\right]

Como \delta=\dfrac{E_f-E_i}{E_i}, temos 1+\delta=\tg^2\theta+\dfrac{m}{M}\dfrac{1}{\cos^2\theta}. Isolando a razão:

\frac{m}{M}=(1+\delta-\tg^2\theta)\cos^2\theta=(1+\delta)\cos^2\theta-\sen^2\theta

Resposta: \dfrac{m}{M}=(1+\delta)\cos^2\theta-\sen^2\theta.

c) Perda de 60\% significa \delta=-0{,}6. Com \theta=30^\circ: \cos^2\theta=\tfrac34 e \sen^2\theta=\tfrac14. Então:

\frac{m}{M}=0{,}4\cdot\frac34-\frac14=0{,}30-0{,}25=0{,}05

Portanto \dfrac{M}{m}=\dfrac{1}{0{,}05}=20.

Conferindo: \tg^2 30^\circ+0{,}05\cdot\tfrac43=0{,}333+0{,}067=0{,}4, o que corresponde a E_f=0{,}4\,E_i, ou seja, perda de 60\%.

Resposta: M/m=20.

Assuntos: Colisões, Impulso e quantidade de movimento.

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Fonte: ITA 2ª fase 2025 · Física. Prova oficial ↗