Questão 2 (Física) da 2ª fase do ITA 2025

Question

Considere uma barra homogênea de comprimento L e massa M, suspensa horizontalmente por uma corda vertical que tem um nó fixo no teto e outro numa das extremidade da barra (x = 0). Uma massa m está pendurada na outra extremidade (x = L), e uma distribuição de forças é aplicada ao longo da barra, de forma que o sistema se encontra em equilíbrio estático. Essa distribuição pode ser descrita por N forças, que obedecem à relação de recorrência \vec{F}_n = \frac{\vec{F}_{n-1}}{2} (n = 0, 1, ..., N - 1), aplicadas nos pontos x_n = 2^{-n} L.

Calcule, em termos de M, m, g, L e N,

a) a força F_0;

b) a força de tração da corda.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Física) da 2ª fase do ITA 2025

Física · Física: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2.
Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0\times 10^8\ \text{m/s}.
Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2.
Massa da Terra M_{Terra} = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}.
Raio da Terra R_{Terra} = 6{,}4 \times 10^6\ \text{m}.
Permissividade elétrica no vácuo \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\ \text{C}^2\cdot\text{N}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}.
Energia de ionização do átomo de hidrogênio I_H = 13{,}6\ \text{eV}.
Massa do próton m_p = 1{,}6 \times 10^{-27}\ \text{kg} = 938\ \text{MeV}/c^2.
Carga elementar e = 1{,}6 \times 10^{-19}\ \text{C}.

Considere uma barra homogênea de comprimento L e massa M, suspensa horizontalmente por uma corda vertical que tem um nó fixo no teto e outro numa das extremidade da barra (x = 0). Uma massa m está pendurada na outra extremidade (x = L), e uma distribuição de forças é aplicada ao longo da barra, de forma que o sistema se encontra em equilíbrio estático. Essa distribuição pode ser descrita por N forças, que obedecem à relação de recorrência \vec{F}_n = \frac{\vec{F}_{n-1}}{2} (n = 0, 1, ..., N - 1), aplicadas nos pontos x_n = 2^{-n} L.

Calcule, em termos de M, m, g, L e N,

a) a força F_0;

b) a força de tração da corda.

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Resolução comentada

a) Admito que as forças \vec F_n são verticais e para cima, o que a recorrência leva a entender. Então F_n = F_0/2^n e elas são aplicadas em x_n = 2^{-n}L.

O equilíbrio de rotação é calculado em torno de x=0, onde a corda é presa. Assim, a tração não entra na equação.

Os torques horários vêm do peso da barra, aplicado em L/2, e do peso mg, aplicado em L. Os torques anti-horários vêm das forças F_n:

\left(\frac{M}{2}+m\right)gL=\sum_{n=0}^{N-1}F_n x_n=F_0L\sum_{n=0}^{N-1}4^{-n}

A soma é uma PG de razão 1/4:

\sum_{n=0}^{N-1}4^{-n}=\frac{1-4^{-N}}{1-\frac14}=\frac43\left(1-4^{-N}\right)

Isolando F_0:

F_0=\frac{3\,(M+2m)\,g}{8\left(1-4^{-N}\right)}

Teste com N=1: F_0=(M+2m)g/2, que é o valor esperado para uma única força em x=L.

F₀ = 3(M+2m)g / [8(1−4⁻ᴺ)]

b) No equilíbrio de translação, a tração T mais a soma das forças F_n equilibra os pesos:

T+\sum_{n=0}^{N-1}F_n=(M+m)g

A soma das forças é outra PG, de razão 1/2:

\sum_{n=0}^{N-1}F_n=F_0\,\frac{1-2^{-N}}{1-\frac12}=2F_0\left(1-2^{-N}\right)

Como 1-4^{-N}=(1-2^{-N})(1+2^{-N}), o fator 1-2^{-N} se cancela ao substituir F_0:

\sum F_n=\frac{3(M+2m)g}{4\left(1+2^{-N}\right)}

Portanto:

T=(M+m)g-\frac{3(M+2m)g}{4\left(1+2^{-N}\right)}=\frac{\left[M-2m+4(M+m)2^{-N}\right]g}{4\left(1+2^{-N}\right)}

Teste com N=1: T=Mg/2. Isso confere, pois F_0=(M+2m)g/2 e T=(M+m)g-F_0.

T = (M+m)g − 3(M+2m)g / [4(1+2⁻ᴺ)]

Assuntos: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas, Equilíbrio do ponto material.

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Questão 2 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2025

Fonte: ITA 2ª fase 2025 · Física. Prova oficial ↗