Questão 7 (Física) da 2ª fase do ITA 2024

Question

Deseja-se focalizar um feixe monocromático paralelo em torno de um ponto F. Devido ao baixo comprimento de onda \lambda e efeitos de absorção no material, não é possível utilizar uma lente convergente usual para focalizar essa radiação. Como alternativa, utiliza-se uma rede de difração constituída por um arranjo de anéis concêntricos em torno de um círculo absorvedor de raio r_1. Os anéis concêntricos intercalam regiões com obstáculos absorvedores (preto) e sem obstáculos absorvedores (cinza), como indicado na figura.

Obtenha uma expressão para os raios r_n(n > 1) dos anéis concêntricos, que podem ser absorvedores (n ímpar) ou sem obstáculos (n par), em função de \lambda, r_1, da distância f do centro dos anéis ao ponto F e do índice inteiro n, de forma que o arranjo funcione como um focalizador.

$Esquema da rede de difração por anéis concêntricos: à esquerda, vista frontal mostrando zonas circulares alternadas entre pretas (absorvedoras) e cinzas (transparentes); à direita, vista em corte lateral mostrando a incidência de feixes paralelos, a indicação dos raios $r_1$, $r_2$, $\dots$, $r_n$ e a distância focal $f$ até o foco $F$.$

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Física) da 2ª fase do ITA 2024

Física · Física: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, considere as seguintes constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\text{ m/s}^2.
Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\text{ N.m}^2/\text{kg}^3.
Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s}.

Se necessitar, use a seguinte aproximação numérica:
(1 + x)^n \approx 1 + nx para |x| \ll 1.

Deseja-se focalizar um feixe monocromático paralelo em torno de um ponto F. Devido ao baixo comprimento de onda \lambda e efeitos de absorção no material, não é possível utilizar uma lente convergente usual para focalizar essa radiação. Como alternativa, utiliza-se uma rede de difração constituída por um arranjo de anéis concêntricos em torno de um círculo absorvedor de raio r_1. Os anéis concêntricos intercalam regiões com obstáculos absorvedores (preto) e sem obstáculos absorvedores (cinza), como indicado na figura.

Obtenha uma expressão para os raios r_n(n > 1) dos anéis concêntricos, que podem ser absorvedores (n ímpar) ou sem obstáculos (n par), em função de \lambda, r_1, da distância f do centro dos anéis ao ponto F e do índice inteiro n, de forma que o arranjo funcione como um focalizador.

$Esquema da rede de difração por anéis concêntricos: à esquerda, vista frontal mostrando zonas circulares alternadas entre pretas (absorvedoras) e cinzas (transparentes); à direita, vista em corte lateral mostrando a incidência de feixes paralelos, a indicação dos raios $r_1$, $r_2$, $\dots$, $r_n$ e a distância focal $f$ até o foco $F$.$

Reportar erro na questão

Resolução comentada

a)

A rede de anéis é uma zona de Fresnel. Para o feixe focalizar em F, a luz que passa pelas regiões transparentes deve chegar a F em fase. Para isso, os anéis são separados por caminhos até F que diferem de \lambda/2.

A luz incide paralela, então todos os pontos da rede estão em fase. A diferença de fase em F vem só da distância percorrida da rede até F.

Um ponto na borda de raio r_n está a uma distância d_n=\sqrt{r_n^2+f^2} de F.

Passando de um anel para o seguinte (de n para n+1), o caminho até F aumenta em \lambda/2. Assim, as zonas vizinhas chegam em oposição de fase, e as zonas que causariam interferência destrutiva ficam bloqueadas (as pretas). As zonas transparentes interferem construtivamente em F.

Como o círculo central de raio r_1 é o ponto de partida, a condição é:

\sqrt{r_n^2+f^2}=\sqrt{r_1^2+f^2}+(n-1)\frac{\lambda}{2}

Elevando ao quadrado:

r_n^2+f^2=r_1^2+f^2+(n-1)\lambda\sqrt{r_1^2+f^2}+(n-1)^2\frac{\lambda^2}{4}

r_n^2=r_1^2+(n-1)\lambda\sqrt{r_1^2+f^2}+\frac{(n-1)^2\lambda^2}{4}

No caso usual, f\gg r_1 e f\gg\lambda. Então \sqrt{r_1^2+f^2}\approx f, e o termo em \lambda^2 é desprezível. Resulta:

r_n\approx\sqrt{r_1^2+(n-1)\lambda f}

Assim, r_n com n ímpar delimita os anéis absorvedores, e com n par, os transparentes.

Resposta: r_n=\sqrt{r_1^2+(n-1)\lambda\sqrt{r_1^2+f^2}+\dfrac{(n-1)^2\lambda^2}{4}}\;\approx\;\sqrt{r_1^2+(n-1)\lambda f} (para f\gg r_1,\lambda).

Assunto: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 7 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2024

Fonte: ITA 2ª fase 2024 · Física. Prova oficial ↗