PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 8 (Física) da 2ª fase do ITA 2024
Texto-base das questões 01 a 10 · Física
Quando necessário, considere as seguintes constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\text{ m/s}^2.
Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\text{ N.m}^2/\text{kg}^3.
Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s}.
Se necessitar, use a seguinte aproximação numérica:
(1 + x)^n \approx 1 + nx para |x| \ll 1.
Quatro cargas idênticas de valor q_1 estão dispostas nos vértices de um quadrado de lado 2a e quatro cargas q_2 estão posicionadas nos pontos médios das arestas, conforme mostra a figura.
Considerando que o sistema esteja no vácuo, faça o que se pede nos itens a seguir.
a) Obtenha a energia potencial deste sistema de cargas em termos da permissividade elétrica no vácuo \epsilon_0, q_1, q_2 e a.
b) Sabendo que as cargas q_2 estão fixas, determine qual deve ser a razão q_1/q_2 para que o sistema permaneça em equilíbrio estático.
Reportar erro na questão
Resolução comentada
a) A energia potencial é a soma de k\,q_iq_j/r_{ij} sobre todos os pares de cargas, com k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}. Ponha a origem no centro do quadrado. Os vértices ficam em (\pm a,\pm a) e os pontos médios em (\pm a,0) e (0,\pm a).
- Pares q_1–q_1: 4 lados, a distância 2a, e 2 diagonais, a distância 2\sqrt2\,a.
U_{11}=\frac{kq_1^2}{a}\left(\frac{4}{2}+\frac{2}{2\sqrt2}\right)=\frac{kq_1^2}{a}\left(2+\frac{\sqrt2}{2}\right) - Pares q_2–q_2: formam um quadrado de lado \sqrt2\,a (4 lados) e diagonal 2a (2 diagonais).
U_{22}=\frac{kq_2^2}{a}\left(\frac{4}{\sqrt2}+\frac{2}{2}\right)=\frac{kq_2^2}{a}\left(1+2\sqrt2\right) - Pares q_1–q_2: cada vértice tem 2 cargas q_2 a distância a e 2 a distância \sqrt5\,a. Com 4 vértices:
U_{12}=4\,\frac{kq_1q_2}{a}\left(2+\frac{2}{\sqrt5}\right)=\frac{kq_1q_2}{a}\,8\left(1+\frac{1}{\sqrt5}\right)
Somando:
Resposta: a expressão acima para U.
b) As cargas q_2 estão fixas, então basta que cada q_1 esteja em equilíbrio. Pela simetria, a força resultante sobre o vértice (a,a) aponta ao longo da diagonal. Basta anular a componente nessa direção, \hat u=(1,1)/\sqrt2.
Forças das outras q_1, em unidades de k/a^2:
- Em (a,-a) e (-a,a): distância 2a, módulo q_1^2/4, com componente 1/\sqrt2 cada uma. Soma: q_1^2\sqrt2/4.
- Em (-a,-a): distância 2\sqrt2\,a, módulo q_1^2/8, já na direção da diagonal.
Forças das q_2, em unidades de k/a^2:
- Em (a,0) e (0,a): distância a, módulo q_1q_2, com componente 1/\sqrt2 cada uma. Soma: \sqrt2\,q_1q_2.
- Em (-a,0) e (0,-a): distância \sqrt5\,a, módulo q_1q_2/5. O vetor unitário é (2,1)/\sqrt5, e o produto escalar com \hat u vale 3/\sqrt{10}. Soma das duas: \dfrac{6}{5\sqrt{10}}q_1q_2=\dfrac{3\sqrt{10}}{25}q_1q_2.
Força resultante nula:
As cargas devem ter sinais opostos, e |q_1| é cerca de 3,75 vezes |q_2|.
Resposta: q_1/q_2=-\dfrac{8\left(\sqrt2+3\sqrt{10}/25\right)}{1+2\sqrt2}\approx-3{,}75.
Assuntos: Força elétrica e lei de Coulomb, Potencial elétrico e energia potencial elétrica.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
Fonte: ITA 2ª fase 2024 · Física. Prova oficial ↗