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Questão 6 (Física) da 2ª fase do ITA 2024

Física · Física: Gravitação universal e satélites

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, considere as seguintes constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\text{ m/s}^2.
Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\text{ N.m}^2/\text{kg}^3.
Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s}.

Se necessitar, use a seguinte aproximação numérica:
(1 + x)^n \approx 1 + nx para |x| \ll 1.

Um observatório analisa a frequência de uma emissão eletromagnética, de frequência natural f_e, proveniente de duas estrelas que formam um sistema binário com órbitas circulares. O gráfico obtido está representado na figura.

Gráfico da frequência em função do tempo em dias para duas estrelas que compõem um sistema binário. O eixo vertical indica a frequência com marcações em 0,999fe, fe e 1,001fe. O eixo horizontal indica o tempo em dias, marcado em 0, 6, 12 e 18. A estrela 1 (linha contínua) oscila com período de 12 dias entre 0,999fe e 1,001fe, com máximos em t = 0 e t = 12 dias. A estrela 2 (linha pontilhada) oscila em oposição de fase com menor amplitude em torno de fe.

Com base nesse gráfico, estime:

a) a distância que separa as duas estrelas em metros;

b) a massa de cada uma das estrelas em quilogramas.

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Resolução comentada

a) O desvio de frequência por efeito Doppler é \dfrac{\Delta f}{f_e}=\dfrac{v}{c} para v\ll c. Ele mede a velocidade orbital de cada estrela ao longo da linha de visada. Isso vale se a órbita é vista de lado e o sistema não se move em relação ao observatório, pois a oscilação é simétrica em torno de f_e.

No gráfico, a estrela 1 oscila com amplitude 0{,}001f_e. A estrela 2 oscila com amplitude de metade disso, 0{,}0005f_e. Logo:

v_1=0{,}001\,c=3\times10^{5}\ \text{m/s},\qquad v_2=0{,}0005\,c=1{,}5\times10^{5}\ \text{m/s}

O período é T=12\ \text{dias}=12\cdot 86400=1{,}04\times10^{6}\ \text{s}. As estrelas giram em torno do centro de massa com o mesmo período, em órbitas circulares de raios r=\dfrac{vT}{2\pi}:

r_1=\frac{3\times10^{5}\cdot1{,}04\times10^{6}}{2\pi}\approx4{,}95\times10^{10}\ \text{m},\qquad r_2=\frac{r_1}{2}\approx2{,}48\times10^{10}\ \text{m}

As estrelas ficam em lados opostos do centro de massa, o que concorda com as curvas em oposição de fase. Então:

d=r_1+r_2\approx7{,}4\times10^{10}\ \text{m}

d\approx7{,}4\times10^{10}\ \text{m}

b) O centro de massa dá m_1r_1=m_2r_2, ou seja, m_2=2m_1. A estrela de maior velocidade é a de menor massa.

A força gravitacional é a resultante centrípeta de cada estrela. Para a estrela 1:

\frac{Gm_1m_2}{d^2}=m_1\omega^2r_1\Rightarrow m_2=\frac{\omega^2r_1d^2}{G}

Para a estrela 2, m_1=\dfrac{\omega^2r_2d^2}{G}. Somando as duas:

M=m_1+m_2=\frac{\omega^2d^3}{G}

Com \omega=\dfrac{2\pi}{T}\approx6{,}06\times10^{-6}\ \text{rad/s}, temos \omega^2\approx3{,}67\times10^{-11}\ \text{s}^{-2}. Também d^3\approx(7{,}43\times10^{10})^3\approx4{,}1\times10^{32}\ \text{m}^3. Então:

M\approx\frac{3{,}67\times10^{-11}\cdot4{,}1\times10^{32}}{6{,}7\times10^{-11}}\approx2{,}2\times10^{32}\ \text{kg}

Como m_2=2m_1, vem m_1=M/3 e m_2=2M/3:

m_1\approx7{,}5\times10^{31}\ \text{kg} (estrela 1) e m_2\approx1{,}5\times10^{32}\ \text{kg} (estrela 2)

Assuntos: Gravitação universal e satélites, Leis de Kepler, Efeito Doppler.

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Fonte: ITA 2ª fase 2024 · Física. Prova oficial ↗