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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Física) da 2ª fase do ITA 2024

Física · Física: Máquinas térmicas e segunda lei da termodinâmica

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, considere as seguintes constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\text{ m/s}^2.
Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\text{ N.m}^2/\text{kg}^3.
Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s}.

Se necessitar, use a seguinte aproximação numérica:
(1 + x)^n \approx 1 + nx para |x| \ll 1.

Considere dois objetos idênticos inicialmente em equilíbrio térmico à temperatura T_1. Um refrigerador realiza trabalho W e faz um dos objetos atingir a temperatura T_2. Considere que os objetos não trocam calor com o meio externo e tudo acontece a pressão constante. Sendo C_p a capacidade térmica de cada objeto a pressão constante, qual o valor mínimo de W?

Dado: A variação de entropia \Delta S a pressão constante entre temperaturas T_i e T_f é \Delta S = C_p \ln \frac{T_f}{T_i}.

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Resolução comentada

a)

O refrigerador retira calor Q_f de um objeto, que esfria de T_1 até T_2. Ele rejeita calor Q_q no outro objeto, que esquenta de T_1 até uma temperatura final T_3. Como não há troca com o meio externo, o sistema é formado pelos dois objetos mais o refrigerador, que opera em ciclo e, por isso, tem variação de entropia nula.

Condição de trabalho mínimo. O trabalho é mínimo quando o processo é reversível, ou seja, \Delta S_{total}=0:

C_p\ln\frac{T_2}{T_1}+C_p\ln\frac{T_3}{T_1}=0\;\Rightarrow\; T_3=\frac{T_1^2}{T_2}

Essa é a temperatura final do objeto aquecido. Como T_2<T_1, temos T_3>T_1.

Energia. A pressão constante, o calor trocado por cada objeto é C_p\Delta T:

  1. Calor retirado do objeto frio: Q_f=C_p(T_1-T_2).
  2. Calor cedido ao objeto quente: Q_q=C_p(T_3-T_1)=C_p\left(\dfrac{T_1^2}{T_2}-T_1\right).

Pela conservação de energia no refrigerador, W=Q_q-Q_f:

W=C_p\left(\frac{T_1^2}{T_2}-T_1-T_1+T_2\right)=C_p\,\frac{T_1^2-2T_1T_2+T_2^2}{T_2}
W_{min}=C_p\,\frac{(T_1-T_2)^2}{T_2}

Resposta: W_{min}=C_p\dfrac{(T_1-T_2)^2}{T_2}

Assuntos: Máquinas térmicas e segunda lei da termodinâmica, Primeira lei da termodinâmica.

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Fonte: ITA 2ª fase 2024 · Física. Prova oficial ↗