Questão 4 (Física) da 2ª fase do ITA 2024

Question

Um grupo de estudantes estava trabalhando na concepção de termômetro a gás a volume constante, conforme a figura. Com intuito de calibrar o termômetro, os estudantes mediram a pressão do gás, P_0, a 0^\circ\text{C}. Em seguida, o bulbo de vidro do termômetro foi posto em contato com uma quantidade de água a 100^\circ\text{C}, resultando em uma elevação h da coluna de mercúrio, constituindo assim uma escala de temperatura. Entretanto, notou-se que a altura h, atingida pelo mercúrio, não correspondia, de forma precisa, aos valores calculados inicialmente. Após muitas discussões os estudantes concluíram que a expansão térmica do bulbo foi a causa dessa discrepância.

Esquema de um termômetro a gás a volume constante, composto por um bulbo esférico com gás imerso em um recipiente com água, conectado por um tubo capilar a um manômetro de tubo em U contendo mercúrio e uma escala graduada vertical medindo o desnível h entre as colunas de mercúrio.

Dado o exposto e assumindo que a densidade do mercúrio seja dada por \rho e a aceleração gravitacional por g, responda aos itens abaixo.

a) Assumindo que o gás no interior do bulbo seja ideal, calcule o valor relativo à altura h desconsiderando o efeito de dilatação térmica do bulbo.

b) Sabendo que V_0 é o volume do bulbo à 0^\circ\text{C} e que \alpha é o coeficiente de dilatação linear do vidro, calcule qual deve ser a diferença entre o valor medido de h e o valor calculado inicialmente se esta fosse a única causa da discrepância. Despreze as dimensões do orifício de contato entre o bulbo e o capilar.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Física) da 2ª fase do ITA 2024

Física · Física: Gases ideais e transformações gasosas

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, considere as seguintes constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\text{ m/s}^2.
Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\text{ N.m}^2/\text{kg}^3.
Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s}.

Se necessitar, use a seguinte aproximação numérica:
(1 + x)^n \approx 1 + nx para |x| \ll 1.

Um grupo de estudantes estava trabalhando na concepção de termômetro a gás a volume constante, conforme a figura. Com intuito de calibrar o termômetro, os estudantes mediram a pressão do gás, P_0, a 0^\circ\text{C}. Em seguida, o bulbo de vidro do termômetro foi posto em contato com uma quantidade de água a 100^\circ\text{C}, resultando em uma elevação h da coluna de mercúrio, constituindo assim uma escala de temperatura. Entretanto, notou-se que a altura h, atingida pelo mercúrio, não correspondia, de forma precisa, aos valores calculados inicialmente. Após muitas discussões os estudantes concluíram que a expansão térmica do bulbo foi a causa dessa discrepância.

Esquema de um termômetro a gás a volume constante, composto por um bulbo esférico com gás imerso em um recipiente com água, conectado por um tubo capilar a um manômetro de tubo em U contendo mercúrio e uma escala graduada vertical medindo o desnível h entre as colunas de mercúrio.

Dado o exposto e assumindo que a densidade do mercúrio seja dada por \rho e a aceleração gravitacional por g, responda aos itens abaixo.

a) Assumindo que o gás no interior do bulbo seja ideal, calcule o valor relativo à altura h desconsiderando o efeito de dilatação térmica do bulbo.

b) Sabendo que V_0 é o volume do bulbo à 0^\circ\text{C} e que \alpha é o coeficiente de dilatação linear do vidro, calcule qual deve ser a diferença entre o valor medido de h e o valor calculado inicialmente se esta fosse a única causa da discrepância. Despreze as dimensões do orifício de contato entre o bulbo e o capilar.

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Resolução comentada

a) O volume do gás é constante, então a lei dos gases ideais dá P/T = \text{constante}. Vamos supor que, a 0^\circ\text{C} (T_0 = 273\ \text{K}), os ramos do manômetro estejam nivelados. Assim, P_0 é a pressão atmosférica.

A 100^\circ\text{C} (T = 373\ \text{K}), a pressão do gás é:

P = P_0\,\frac{T}{T_0} = P_0\,\frac{373}{273}

O desnível h do mercúrio equilibra o excesso de pressão do gás sobre a atmosférica:

P = P_0 + \rho g h \;\Rightarrow\; h = \frac{P - P_0}{\rho g} = \frac{P_0}{\rho g}\left(\frac{373}{273}-1\right)

h = \frac{100}{273}\,\frac{P_0}{\rho g} \approx 0{,}37\,\frac{P_0}{\rho g}

h = \dfrac{100\,P_0}{273\,\rho g}\approx 0{,}37\,\dfrac{P_0}{\rho g}

b) Agora o bulbo dilata. O volume do vidro varia com o coeficiente volumétrico \approx 3\alpha:

V = V_0(1+\alpha\Delta T)^3 \approx V_0(1+3\alpha\cdot 100) = V_0(1+300\alpha)

Como 300\alpha \ll 1, vale a aproximação (1+x)^n \approx 1+nx.

Aplicando PV/T = \text{constante} entre os dois estados:

P = P_0\,\frac{373}{273}\,\frac{V_0}{V} = P_0\,\frac{373}{273}\,(1+300\alpha)^{-1} \approx P_0\,\frac{373}{273}(1-300\alpha)

O novo desnível é h' = \dfrac{P-P_0}{\rho g}. Subtraindo o valor do item (a):

\Delta h = h' - h = \frac{1}{\rho g}\left[P_0\frac{373}{273}(1-300\alpha) - P_0\frac{373}{273}\right] = -\frac{373}{273}\,\frac{300\,\alpha\,P_0}{\rho g}

\Delta h \approx -410\,\frac{\alpha P_0}{\rho g}

O sinal negativo indica que o h medido é menor que o calculado inicialmente, porque o aumento do volume reduz a pressão. O volume V_0 se cancela no resultado.

h_{\text{medido}} - h_{\text{calculado}} \approx -\dfrac{373}{273}\cdot\dfrac{300\,\alpha P_0}{\rho g}\approx -410\,\dfrac{\alpha P_0}{\rho g}

Assuntos: Gases ideais e transformações gasosas, Pressão hidrostática: Stevin e Pascal, Dilatação térmica.

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Questão 4 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2024

Fonte: ITA 2ª fase 2024 · Física. Prova oficial ↗