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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Física) da 2ª fase do ITA 2024

Física · Física: Movimento harmônico simples e pêndulos

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, considere as seguintes constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\text{ m/s}^2.
Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\text{ N.m}^2/\text{kg}^3.
Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s}.

Se necessitar, use a seguinte aproximação numérica:
(1 + x)^n \approx 1 + nx para |x| \ll 1.

Considere duas situações: (i) uma partícula A de massa m e carga q, sob influência de uma campo elétrico constante \vec{E} = E\,\hat{\text{i}} é colocada para oscilar pela ação de uma mola de rigidez k e comprimento livre l_0, ao longo do eixo x; (ii) uma segunda partícula, B, é conectada à A, pela mesma mola, na presença de \vec{E}. A partícula B é neutra e tem massa m.

Situação (i): partícula A presa a uma mola de constante k ligada a uma parede vertical, sob ação de um campo elétrico E para a direita. Situação (ii): partículas A e B ligadas pelas extremidades de uma mola de constante k, sob ação de um campo elétrico E para a direita.

Desconsiderando efeitos de radiação eletromagnética e de atrito, determine:

a) o período de oscilação do sistema massa-mola na situação (i);

b) a frequência angular \omega de oscilação da massa A em relação ao centro de massa na situação (ii);

c) a equação horária de cada partícula em (ii), sabendo que, inicialmente, a massa A está em repouso e passa pela origem do sistema de coordenadas, ao passo que a massa B também está em repouso e se encontra a uma distância l_0 de A.

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Resolução comentada

a) Na situação (i) as forças sobre A, na direção x, são a força elétrica constante qE e a força elástica. A força constante apenas desloca a posição de equilíbrio para x_{eq}=l_0+qE/k. Em torno desse ponto a força resultante é restauradora, F=-k(x-x_{eq}), então o movimento é um MHS com a mesma frequência de um sistema massa-mola comum:

\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\quad\Rightarrow\quad T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

T=2\pi\sqrt{m/k}

b) Em (ii), a força externa qE atua só em A, e o CM acelera com a_{cm}=\dfrac{qE}{2m}. As forças da mola são internas. Em relação ao CM, o movimento relativo é o de uma massa reduzida:

\mu=\frac{m\cdot m}{m+m}=\frac{m}{2}

A força externa não altera a frequência, apenas desloca o equilíbrio. Então

\omega=\sqrt{\frac{k}{\mu}}=\sqrt{\frac{2k}{m}}

Outra forma de ver: com r=x_B-x_A, a segunda lei dá m\ddot r=-2k(r-l_0)-qE, o que também leva a \omega^2=2k/m.

\omega=\sqrt{2k/m}

c) Vamos separar o movimento do CM do movimento relativo.

  1. CM: em t=0, x_{cm}=\dfrac{0+l_0}{2}=\dfrac{l_0}{2} e v_{cm}=0. Com aceleração constante, x_{cm}=\dfrac{l_0}{2}+\dfrac{qE}{4m}t^2.

  2. Relativo: de m\ddot r=-2k(r-l_0)-qE, o equilíbrio é r_{eq}=l_0-\dfrac{qE}{2k}. Em t=0, r=l_0 e \dot r=0, logo

    r-r_{eq}=\frac{qE}{2k}\cos\omega t\;\Rightarrow\; r=l_0-\frac{qE}{2k}(1-\cos\omega t)

  3. Posições: x_A=x_{cm}-\dfrac r2 e x_B=x_{cm}+\dfrac r2.

x_A(t)=\frac{qE}{4m}t^2+\frac{qE}{4k}\left[1-\cos\left(\sqrt{\tfrac{2k}{m}}\,t\right)\right]
x_B(t)=l_0+\frac{qE}{4m}t^2-\frac{qE}{4k}\left[1-\cos\left(\sqrt{\tfrac{2k}{m}}\,t\right)\right]

Verificação: em t=0, x_A=0, x_B=l_0 e as velocidades são nulas. Além disso, \ddot x_A(0)=qE/m, como esperado, pois a mola ainda não está deformada.

Resposta: as equações acima para x_A(t) e x_B(t).

Assuntos: Movimento harmônico simples e pêndulos, Leis de Newton e aplicações.

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Fonte: ITA 2ª fase 2024 · Física. Prova oficial ↗