Questão 2 (Física) da 2ª fase do ITA 2024

Question

Um professor desenvolveu um projeto para o estudo de ondas estacionárias em cordas. Para tal, utilizou um gerador de frequência f, um fio de náilon de densidade linear de massa \mu, dois pedestais universais, uma roldana e um bloco de massa m. A distância da roldana até o gerador é l_0. Toda a montagem foi acoplada sobre uma plataforma de madeira com rodas permitindo sua locomoção ao longo do eixo x, conforme mostra a figura. A massa total do sistema era M. Em repouso, o gerador de frequências foi ajustado para que a vibração na corda apresentasse uma única crista.

Esquema de um carrinho com rodas sobre uma superfície horizontal ao longo do eixo x, contendo dois pedestais. No pedestal da esquerda há uma roldana que sustenta um bloco suspenso de massa m, conectado por um fio de comprimento l0 a um gerador no pedestal da direita. Uma força horizontal F aponta para a direita e a aceleração da gravidade g aponta para baixo.

Uma vez que a frequência de ajuste no gerador seja dobrada com relação à frequência inicial, qual deve ser a força \vec{F} aplicada sobre o sistema para que se visualize uma única crista novamente? Despreze o atrito.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Física) da 2ª fase do ITA 2024

Física · Física: Ondas estacionárias: cordas vibrantes e tubos sonoros

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, considere as seguintes constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\text{ m/s}^2.
Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\text{ N.m}^2/\text{kg}^3.
Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s}.

Se necessitar, use a seguinte aproximação numérica:
(1 + x)^n \approx 1 + nx para |x| \ll 1.

Um professor desenvolveu um projeto para o estudo de ondas estacionárias em cordas. Para tal, utilizou um gerador de frequência f, um fio de náilon de densidade linear de massa \mu, dois pedestais universais, uma roldana e um bloco de massa m. A distância da roldana até o gerador é l_0. Toda a montagem foi acoplada sobre uma plataforma de madeira com rodas permitindo sua locomoção ao longo do eixo x, conforme mostra a figura. A massa total do sistema era M. Em repouso, o gerador de frequências foi ajustado para que a vibração na corda apresentasse uma única crista.

Esquema de um carrinho com rodas sobre uma superfície horizontal ao longo do eixo x, contendo dois pedestais. No pedestal da esquerda há uma roldana que sustenta um bloco suspenso de massa m, conectado por um fio de comprimento l0 a um gerador no pedestal da direita. Uma força horizontal F aponta para a direita e a aceleração da gravidade g aponta para baixo.

Uma vez que a frequência de ajuste no gerador seja dobrada com relação à frequência inicial, qual deve ser a força \vec{F} aplicada sobre o sistema para que se visualize uma única crista novamente? Despreze o atrito.

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Resolução comentada

Única crista: a corda vibra no modo fundamental, com \lambda = 2l_0. Como l_0 não muda, a frequência é

f=\frac{1}{2l_0}\sqrt{\frac{T}{\mu}}

Situação inicial (repouso): a tração no fio é o peso do bloco, T_0=mg.

Frequência dobrada: para continuar com uma única crista, f'=2f exige

\sqrt{\frac{T'}{\mu}}=2\sqrt{\frac{T_0}{\mu}}\;\Rightarrow\; T'=4T_0=4mg

Sistema acelerado: com a força \vec F o carrinho tem aceleração a para a direita. Para o observador no carrinho, o bloco está em equilíbrio sob a ação do peso, da tração e da força de inércia ma (para a esquerda). A tração equilibra a resultante dessas duas:

T'=m\sqrt{g^2+a^2}

Igualando a 4mg:

\sqrt{g^2+a^2}=4g\;\Rightarrow\; a^2=15g^2\;\Rightarrow\; a=\sqrt{15}\,g

Força: o atrito é desprezível. As únicas forças horizontais externas sobre o sistema todo (massa total M, incluindo o bloco) são F. As trações são internas, então:

F=Ma=\sqrt{15}\,Mg\approx 39\,M\ (\text{N, com } M \text{ em kg})

A força é horizontal, no sentido +x (para a direita, como na figura). O bloco fica deslocado para a esquerda, atrás do carrinho.

F=\sqrt{15}\,Mg \approx 39M (N), para a direita

Assuntos: Ondas estacionárias: cordas vibrantes e tubos sonoros, Leis de Newton e aplicações.

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Questão 2 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2024

Fonte: ITA 2ª fase 2024 · Física. Prova oficial ↗