PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Física) da 2ª fase do ITA 2024
Texto-base das questões 01 a 10 · Física
Quando necessário, considere as seguintes constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\text{ m/s}^2.
Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\text{ N.m}^2/\text{kg}^3.
Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s}.
Se necessitar, use a seguinte aproximação numérica:
(1 + x)^n \approx 1 + nx para |x| \ll 1.
Considere um banco de três pernas, todas de mesmo comprimento, com um assento em formato de disco de raio R e massa m. Este banco está sobre uma superfície horizontal perfeitamente plana e os seus pés tocam o solo em três pontos que correspondem aos vértices de um triângulo equilátero de aresta l. O banco é construído de tal forma que o eixo de simetria do assento intercepta o centro geométrico do triângulo. Uma barra de massa M e comprimento L > 2R é afixada sobre o banco, de modo que uma de suas extremidades permanece junto à borda do assento e a outra ultrapassa os seus limites. A barra passa pelo centro do assento e está orientada na mesma direção que uma das mediatrizes do triângulo equilátero. A figura mostra o banco, com a barra, em vista superior.
Considerando este sistema, responda aos seguintes itens:
a) supondo que o sistema está em condição de equilíbrio, determine a expressão da reação normal do piso sobre o pé do banco que está apoiado no ponto A;
b) determine o intervalo de valores de L para os quais o banco permanece em equilíbrio, mantidos todos os outros parâmetros fixos.
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Resolução comentada
a) Vou tomar a vista superior, com a origem O no centro do assento, que coincide com o centro geométrico do triângulo. O eixo y aponta de A para o lado BC.
Geometria do triângulo equilátero de lado l:
- altura: h=\dfrac{\sqrt3}{2}l;
- distância de O ao lado BC: \dfrac{l}{2\sqrt3};
- distância de O ao vértice A: \dfrac{l}{\sqrt3}.
A barra tem uma extremidade na borda do assento, em y=-R, e a outra em y=-R+L. Seu centro de massa está em y=\frac L2-R, que é positivo, pois L>2R. O peso do assento atua em O.
Como tudo é simétrico em relação ao eixo AO, temos N_B=N_C. Basta então tomar o torque em relação à reta BC, onde as reações em B e C não geram torque:
Dividindo por h=\frac{\sqrt3}{2}l, o termo \frac{l}{2\sqrt3} dá \frac13 e o termo R-\frac L2 dá \frac{2R-L}{\sqrt3\,l}:
N_A=\dfrac{(m+M)g}{3}-\dfrac{Mg\,(L-2R)}{\sqrt3\,l}
b) Como L>2R, o centro de massa da barra fica do lado de BC em relação a O. O centro de massa do sistema também fica nesse lado, então o banco não tomba para o lado de A. O único risco é tombar em torno da reta BC, quando A perde o contato com o solo.
O limite de equilíbrio é N_A=0:
Para L maior que esse valor, N_A seria negativo, o que é impossível. Nesse caso o banco tomba.
No intervalo N_A\ge0, vale N_B=N_C=\frac{(m+M)g-N_A}{2}>0, então as outras reações são positivas.
2R<L\le 2R+\dfrac{(m+M)\,l}{\sqrt3\,M}
Assunto: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas.
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Fonte: ITA 2ª fase 2024 · Física. Prova oficial ↗