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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Física) da 2ª fase do ITA 2023

Física · Física: Efeito Doppler

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\text{ m/s}^2; velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s};
Velocidade do som v_{som} = 340\text{ m/s}; carga elementar e = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C};
Constante de Planck h vezes a velocidade da luz c, hc = 1240\text{ eV.nm};
Massa do elétron m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}\text{ kg}.

Aproximações numéricas: (1 + \alpha)^n \approx 1 + n\alpha, para |\alpha| \ll 1; \sqrt{3} \approx 1{,}7.

Um emissor de onda sonora esférica de frequência f_s executa um movimento circular uniforme com velocidade angular \omega e raio r em torno da origem \text{O} do plano xy, de acordo com a figura. Ao mesmo tempo, um receptor sonoro executa um movimento no eixo y de forma que sua posição sempre coincida com a coordenada y do emissor. A velocidade do som é designada como v_{som}. Sabe-se que o gráfico da frequência da onda sonora detectada no receptor, f_{ob}, em função da coordenada x do emissor, aproxima-se de uma cônica para o caso em que \omega r \ll v_{som}. Determine:

Plano cartesiano com eixos x e y e origem o, contendo uma circunferência tracejada de raio r. Um emissor (círculo cinza) percorre a circunferência no sentido anti-horário com velocidade angular ômega, enquanto um receptor (círculo preto) desloca-se sobre o eixo y apontando para cima com a mesma coordenada y do emissor.

a) a velocidade máxima alcançada pelo receptor;

b) a cônica e sua equação.

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Resolução comentada

a) O emissor está em (r\cos\theta,\ r\sen\theta), com \theta=\omega t. O receptor fica sempre em (0,\ r\sen\theta), ou seja, tem a mesma coordenada y do emissor. Logo, o receptor oscila no eixo y com

y_R=r\sen(\omega t)\ \Rightarrow\ v_R=\omega r\cos(\omega t).

O módulo máximo ocorre quando \cos\theta=\pm1, isto é, quando o emissor passa por x=\pm r (e y=0). Esse valor máximo é \omega r.

Velocidade máxima do receptor: v_{max}=\omega r.

b) Emissor e receptor estão sempre na mesma altura y. Portanto, a reta que une os dois é horizontal, paralela a x.

  • O receptor se move na vertical, perpendicular a essa reta. Sua componente de velocidade ao longo da reta é nula e ele não altera a frequência.
  • A velocidade do emissor é \vec v_E=\omega r(-\sen\theta,\ \cos\theta). Só a componente horizontal, de módulo \omega r|\sen\theta|, conta para o efeito Doppler.

Como \omega r\ll v_{som}, podemos desprezar o atraso de propagação e usar (1+\alpha)^n\approx1+n\alpha:

f_{ob}=\frac{f_s}{1-\dfrac{v_{E,\text{aprox.}}}{v_{som}}}\approx f_s\left(1\pm\frac{\omega r\,\sen\theta}{v_{som}}\right)

O sinal depende do sentido do movimento horizontal em relação ao receptor. Em qualquer caso:

\left(f_{ob}-f_s\right)^2=f_s^2\frac{\omega^2r^2}{v_{som}^2}\sen^2\theta.

Usando \sen^2\theta=1-\dfrac{x^2}{r^2}:

\left(f_{ob}-f_s\right)^2=\frac{f_s^2\omega^2}{v_{som}^2}\left(r^2-x^2\right)

Reorganizando:

\frac{x^2}{r^2}+\frac{(f_{ob}-f_s)^2}{\left(\dfrac{f_s\omega r}{v_{som}}\right)^2}=1

Esta é a equação de uma elipse no plano (x,\ f_{ob}). Ela tem centro em (0,\ f_s), semieixo r na direção de x e semieixo \dfrac{f_s\omega r}{v_{som}} na direção de f_{ob}.

Cônica: elipse de equação \dfrac{x^2}{r^2}+\dfrac{(f_{ob}-f_s)^2}{(f_s\omega r/v_{som})^2}=1.

Assuntos: Efeito Doppler, Movimento circular uniforme e transmissão de movimento.

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Fonte: ITA 2ª fase 2023 · Física. Prova oficial ↗