PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 4 (Física) da 2ª fase do ITA 2023
Texto-base das questões 01 a 10 · Física
Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\text{ m/s}^2; velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s};
Velocidade do som v_{som} = 340\text{ m/s}; carga elementar e = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C};
Constante de Planck h vezes a velocidade da luz c, hc = 1240\text{ eV.nm};
Massa do elétron m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}\text{ kg}.
Aproximações numéricas: (1 + \alpha)^n \approx 1 + n\alpha, para |\alpha| \ll 1; \sqrt{3} \approx 1{,}7.
Considere uma nave espacial esférica, de raio R, com paredes de espessura h \ll R. No espaço profundo, existe uma radiação cósmica de fundo de temperatura T_0 (aproximadamente 2{,}7\text{ K}). Seja a temperatura da parede interna da nave T_i, e a temperatura da parede externa T_e, com T_i > T_e > T_0. A condutividade térmica do material que compõe a parede da nave é \kappa; o seu calor específico é c e sua densidade de massa é \rho. A emissividade da nave é unitária e a constante de Stefan-Boltzmann é dada por \sigma. Quando ocorrem pequenas variações de temperatura na parede interna da nave, a condição de fluxo estacionário de calor é perturbada e o sistema tende a uma nova situação de fluxo estacionário de energia. A constante de tempo característica \tau desse processo pode ser estimada apenas em termos das características do material que compõem o revestimento da nave – \kappa, c e \rho – bem como sua espessura h.
Faça o que se pede:
a) obtenha a equação polinomial cuja raiz forneça T_e com os coeficientes em termos de \kappa, \sigma, h, T_i e T_0, considerando a condição de fluxo de calor estacionário;
b) estime, por análise dimensional, uma expressão para \tau.
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Resolução comentada
a) Em regime estacionário, o fluxo de calor conduzido através da parede (como h \ll R, tratamos a parede como uma placa plana) é igual ao fluxo líquido irradiado pela superfície externa para o espaço, cuja temperatura é T_0.
Por unidade de área:
- Condução (Fourier): \Phi_{cond} = \kappa\,\dfrac{T_i - T_e}{h}
- Radiação líquida (Stefan-Boltzmann, emissividade 1): \Phi_{rad} = \sigma\,(T_e^4 - T_0^4)
Igualando os dois:
Passando tudo para um lado e organizando em potências de T_e:
Ou, multiplicando por h:
É uma equação polinomial do 4º grau em T_e, sem termos de grau 3 e 2.
Resposta: \sigma h\,T_e^4 + \kappa\,T_e - (\kappa T_i + \sigma h T_0^4) = 0.
b) Procuramos \tau = \kappa^a\, c^b\, \rho^d\, h^e com dimensão de tempo.
Dimensões (SI):
- [\kappa] = \text{W/(m·K)} = \text{kg·m·s}^{-3}\text{·K}^{-1}
- [c] = \text{J/(kg·K)} = \text{m}^2\text{·s}^{-2}\text{·K}^{-1}
- [\rho] = \text{kg·m}^{-3}
- [h] = \text{m}
Impondo que o produto seja \text{s}^1:
- Temperatura (K): -a - b = 0 \Rightarrow b = -a
- Massa (kg): a + d = 0 \Rightarrow d = -a
- Tempo (s): -3a - 2b = 1 \Rightarrow -3a + 2a = 1 \Rightarrow a = -1
Logo b = 1 e d = 1.
- Comprimento (m): a + 2b - 3d + e = 0 \Rightarrow -1 + 2 - 3 + e = 0 \Rightarrow e = 2
Portanto:
Isso é coerente com o tempo de difusão térmica, h^2/\alpha, com difusividade \alpha = \kappa/(\rho c). Qualquer constante numérica adimensional fica indeterminada pela análise dimensional.
Resposta: \tau \sim \dfrac{\rho\, c\, h^2}{\kappa}.
Assuntos: Propagação de calor: condução, convecção e irradiação, Unidades do SI e análise dimensional.
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Fonte: ITA 2ª fase 2023 · Física. Prova oficial ↗