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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Física) da 2ª fase do ITA 2023

Física · Física: Hidrodinâmica: vazão e Bernoulli

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\text{ m/s}^2; velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s};
Velocidade do som v_{som} = 340\text{ m/s}; carga elementar e = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C};
Constante de Planck h vezes a velocidade da luz c, hc = 1240\text{ eV.nm};
Massa do elétron m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}\text{ kg}.

Aproximações numéricas: (1 + \alpha)^n \approx 1 + n\alpha, para |\alpha| \ll 1; \sqrt{3} \approx 1{,}7.

Considere um recipiente que contém uma coluna de água de altura H. Um pequeno furo é feito na parede a uma altura h, de tal forma que um filete de água é expelido horizontalmente, como na figura. Considere a água um fluido incompressível e de viscosidade desprezível. A aceleração local da gravidade vale g.
Determine:

Recipiente com coluna de água de altura H apresentando um pequeno furo na parede lateral à altura h, de onde jorra um filete d'água em trajetória parabólica. Junto à base externa da parede, há os eixos cartesianos x e y, e acima está indicada a aceleração da gravidade g apontando verticalmente para baixo.

a) a trajetória y(x) do filete de água descrito;

b) o lugar geométrico dos pontos P(x, y) que podem ser atingidos por um filete de água, considerando que a altura h possa ser escolhida entre 0 e H.

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Resolução comentada

a) Pela equação de Bernoulli, aplicada entre a superfície livre (altura H, velocidade desprezível, pressão atmosférica) e o furo (altura h, pressão atmosférica):

\rho g H = \rho g h + \frac{\rho v^2}{2} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{2g(H-h)}

O filete sai na horizontal com essa velocidade. Tomando a origem na base, junto à parede, como na figura, o movimento é um lançamento horizontal:

  1. x = vt, logo t = x/v;
  2. y = h - \dfrac{g t^2}{2} = h - \dfrac{g x^2}{2v^2}.

Substituindo v^2 = 2g(H-h):

y(x) = h - \frac{x^2}{4(H-h)}

É uma parábola com concavidade para baixo, válida para y \ge 0.

Resposta: y(x) = h - \dfrac{x^2}{4(H-h)}.

b) Queremos o conjunto dos pontos (x,y) para os quais existe algum h \in [0,H] cuja trajetória passe por eles. Para (x,y) fixo, a equação do item (a) vira uma equação em h:

(y-h)\cdot 4(H-h) = -x^2 \;\Rightarrow\; 4(h-y)(H-h) = x^2

Desenvolvendo:

4\left[-h^2 + (H+y)h - yH\right] = x^2 \;\Rightarrow\; 4h^2 - 4(H+y)h + 4yH + x^2 = 0

Para existir h real, o discriminante deve ser não negativo:

16(H+y)^2 - 16(4yH + x^2) \ge 0 \;\Rightarrow\; (H+y)^2 - 4yH \ge x^2 \;\Rightarrow\; (H-y)^2 \ge x^2

Como y \le H e x \ge 0, isso dá x \le H - y, ou seja:

y \le H - x

A igualdade ocorre em h = (H+y)/2 (raiz dupla), isto é, a reta y = H - x é a envoltória das parábolas. Conferindo: para h = H/2, o alcance ao solo é x = H (de 0 = H/2 - x^2/(2H)), e de fato y=0 está sobre a reta y=H-x em x=H, o que é o máximo alcance possível.

Portanto, os pontos atingíveis formam o triângulo limitado pelo solo (y\ge0), pela parede (x \ge 0) e pela reta y = H - x. O lugar geométrico dos pontos extremos (a fronteira alcançável) é o segmento de reta y = H - x, com 0 \le x \le H.

Resposta: a região atingível é 0 \le y \le H - x (com x\ge 0); a fronteira é a reta y = H - x, com 0\le x\le H.

Assuntos: Hidrodinâmica: vazão e Bernoulli, Lançamento horizontal e oblíquo.

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Fonte: ITA 2ª fase 2023 · Física. Prova oficial ↗