Questão 2 (Física) da 2ª fase do ITA 2023

Question

Considere uma partícula P_1, de massa m_1, inicialmente em repouso. Em seguida, essa partícula é acelerada por uma força constante \vec{F}_1, durante um intervalo de tempo \Delta t_1. Após este intervalo de tempo, P_1 move-se livremente sem atrito por um plano, até colidir com uma partícula P_2, de massa m_2 = 2m_1. Após a colisão, P_2 sai em uma trajetória que faz um ângulo de \theta = \frac{\pi}{6}\text{rad} com relação à trajetória inicial (pré-colisão) de P_1. Após um breve deslocamento, uma força constante \vec{F}_2, com direção contrária à da velocidade da partícula P_2, atua durante um intervalo de tempo \Delta t_2 = \sqrt{3}\Delta t_1 até a parada total de P_2.

Sabendo que a colisão entre P_1 e P_2 é inelástica e resulta em uma perda de 25\% da energia mecânica do sistema, determine a magnitude da força F_1 em termos da magnitude de F_2.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Física) da 2ª fase do ITA 2023

Física · Física: Colisões

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\text{ m/s}^2; velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s};
Velocidade do som v_{som} = 340\text{ m/s}; carga elementar e = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C};
Constante de Planck h vezes a velocidade da luz c, hc = 1240\text{ eV.nm};
Massa do elétron m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}\text{ kg}.

Aproximações numéricas: (1 + \alpha)^n \approx 1 + n\alpha, para |\alpha| \ll 1; \sqrt{3} \approx 1{,}7.

Considere uma partícula P_1, de massa m_1, inicialmente em repouso. Em seguida, essa partícula é acelerada por uma força constante \vec{F}_1, durante um intervalo de tempo \Delta t_1. Após este intervalo de tempo, P_1 move-se livremente sem atrito por um plano, até colidir com uma partícula P_2, de massa m_2 = 2m_1. Após a colisão, P_2 sai em uma trajetória que faz um ângulo de \theta = \frac{\pi}{6}\text{rad} com relação à trajetória inicial (pré-colisão) de P_1. Após um breve deslocamento, uma força constante \vec{F}_2, com direção contrária à da velocidade da partícula P_2, atua durante um intervalo de tempo \Delta t_2 = \sqrt{3}\Delta t_1 até a parada total de P_2.

Sabendo que a colisão entre P_1 e P_2 é inelástica e resulta em uma perda de 25\% da energia mecânica do sistema, determine a magnitude da força F_1 em termos da magnitude de F_2.

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Resolução comentada

a)

Vamos usar o impulso nas duas forças e a conservação do momento linear na colisão. Seja m_1=m e m_2=2m.

Fase 1 (aceleração de P_1). O impulso de F_1 dá F_1\Delta t_1 = m v_0, onde v_0 é a velocidade de P_1 antes do choque.

Fase 3 (frenagem de P_2). Seja v_2 a velocidade de P_2 logo após o choque. O impulso de F_2 leva P_2 ao repouso: F_2\,\sqrt3\,\Delta t_1 = 2m v_2.

Dividindo as duas relações:

\frac{F_1}{F_2}=\frac{\sqrt3\, v_0}{2 v_2}

Colisão. Seja v_1 a velocidade de P_1 depois do choque, formando um ângulo \varphi com a direção inicial, do lado oposto ao de P_2. Conservando o momento:

Eixo y: m v_1\sen\varphi = 2m v_2 \sen 30^\circ, logo v_1\sen\varphi=v_2.
Eixo x: m v_0 = m v_1\cos\varphi + 2m v_2\cos30^\circ, logo v_1\cos\varphi = v_0-\sqrt3\,v_2.

Elevando ao quadrado e somando:

v_1^2 = v_0^2 - 2\sqrt3\, v_0 v_2 + 4 v_2^2

Energia. A energia final é 75% da inicial:

\tfrac12 m v_1^2+\tfrac12(2m)v_2^2=0{,}75\cdot\tfrac12 m v_0^2 \;\Rightarrow\; v_1^2+2v_2^2=0{,}75\,v_0^2

Substituindo v_1^2:

6v_2^2-2\sqrt3\,v_0v_2+0{,}25\,v_0^2=0

Com x=v_2/v_0, temos 24x^2-8\sqrt3\,x+1=0. O discriminante vale 192-96=96, então:

x=\frac{2\sqrt3\pm\sqrt6}{12}

As duas raízes são fisicamente possíveis: v_1\cos\varphi=v_0-\sqrt3 v_2 fica positivo nos dois casos, e a energia confere. Portanto:

\frac{F_1}{F_2}=\frac{\sqrt3}{2x}=\frac{6\sqrt3}{2\sqrt3\pm\sqrt6}=\sqrt3\,(2\sqrt3\mp\sqrt6)=6\mp3\sqrt2

Numericamente, F_1\approx1{,}76\,F_2 ou F_1\approx10{,}2\,F_2.

Resposta: F_1=(6-3\sqrt2)\,F_2\approx1{,}76\,F_2 (para v_2\approx0{,}49\,v_0) ou F_1=(6+3\sqrt2)\,F_2\approx10{,}2\,F_2 (para v_2\approx0{,}085\,v_0).

Assuntos: Colisões, Impulso e quantidade de movimento.

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Questão 2 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2023

Fonte: ITA 2ª fase 2023 · Física. Prova oficial ↗