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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Física) da 2ª fase do ITA 2022

Física · Física: Indução eletromagnética e transformadores

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, considere as seguintes constantes:

Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0\times 10^8\ \text{m/s}.
Massa molar do ar seco m_{\text{ar}} = 29\ \text{g/mol}. Massa molar da água m_{\ce{H2O}} = 18\ \text{g/mol}.
Constante de Rydberg R_y = 13{,}6\ \text{eV}.

Considere uma haste condutora móvel de massa m e resistência R sobre trilhos fixos condutores em forma de U, conforme a figura abaixo. Esse sistema está em uma região com campo magnético \vec{B} uniforme e perpendicular ao plano do trilho. Em um determinado instante, a haste é solta do repouso e cai sob a influência da gravidade \vec{g} e de uma força de resistência do ar, proporcional à sua velocidade, \vec{F}_r = -\alpha\vec{v}. Considerando que a resistência da haste é muito maior que a resistência do trilho, faça o que se pede.

(a) Forneça o diagrama de forças que atuam na haste e indique suas intensidades.

(b) Determine a velocidade terminal da haste.

(c) Esboce o gráfico da velocidade v(t).

Trilhos condutores verticais em formato de U de largura a, imersos em um campo magnético B uniforme perpendicular entrando no plano da página (indicado por círculos com X). Uma haste condutora horizontal de massa m repousa transversalmente sobre os trilhos, sujeita à aceleração da gravidade g apontando para baixo.

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Resolução comentada

a)

Quando a haste desce com velocidade v, o fluxo magnético através do circuito (haste + trilhos + base do U) diminui. Aparece então uma fem induzida, e só o trecho de comprimento a entre os trilhos participa do circuito:

\varepsilon = B\,a\,v

Como a resistência do circuito é praticamente a da haste, R, a corrente é

i=\frac{Ba\,v}{R}

Pela lei de Lenz, a corrente tem sentido horário e se opõe à queda. A força magnética sobre a haste é, portanto, vertical para cima:

F_m = B\,i\,a=\frac{B^2a^2v}{R}

Forças na haste:

  • peso: P=mg, vertical para baixo;
  • resistência do ar: F_r=\alpha v, vertical para cima;
  • força magnética: F_m=\dfrac{B^2a^2v}{R}, vertical para cima.

Diagrama: mg para baixo; \alpha v e B^2a^2v/R para cima.

b)

A velocidade terminal é atingida quando a resultante se anula (aceleração nula):

mg=\alpha v_t+\frac{B^2a^2}{R}v_t
v_t=\frac{mg}{\alpha+\dfrac{B^2a^2}{R}}=\frac{mgR}{\alpha R+B^2a^2}

v_t=\dfrac{mgR}{\alpha R+B^2a^2}

c)

Seja k=\alpha+\dfrac{B^2a^2}{R}. A segunda lei de Newton dá

m\frac{dv}{dt}=mg-kv

A solução com v(0)=0 é

v(t)=v_t\left(1-e^{-t/\tau}\right),\qquad \tau=\frac{m}{k}=\frac{mR}{\alpha R+B^2a^2}

O gráfico é uma exponencial crescente que parte da origem com inclinação inicial g, pois em t=0 não há forças dissipativas. A curva é côncava para baixo e se aproxima assintoticamente da reta horizontal v=v_t. Após um tempo da ordem de \tau, a velocidade já atingiu cerca de 63\% de v_t.

Esboço: curva exponencial crescente, saindo de v=0 com tangente inicial de inclinação g e tendendo assintoticamente a v_t.

Assuntos: Indução eletromagnética e transformadores, Força magnética.

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Fonte: ITA 2ª fase 2022 · Física. Prova oficial ↗