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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Física) da 2ª fase do ITA 2022

Física · Física: Força magnética

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, considere as seguintes constantes:

Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0\times 10^8\ \text{m/s}.
Massa molar do ar seco m_{\text{ar}} = 29\ \text{g/mol}. Massa molar da água m_{\ce{H2O}} = 18\ \text{g/mol}.
Constante de Rydberg R_y = 13{,}6\ \text{eV}.

Em um espectrômetro de massa, íons de massa m e carga q são acelerados de uma fonte S até uma fenda por uma diferença de potencial elétrico V. Assim que atravessam a fenda, acessam uma câmara na qual existe um campo magnético uniforme B\boldsymbol{\hat{z}}, perpendicular ao plano ilustrado pela figura abaixo. Em condições normais de funcionamento, os íons entram na câmara com velocidade perpendicular ao anteparo e têm o movimento completamente contido no plano da figura até atingir a placa detectora a uma distância horizontal x da fenda de entrada.

Contudo, verificou-se um desvio horizontal d_x nos valores esperados de suas medidas, resultando em uma distância x - d_x, associada a uma elevação vertical do ponto de detecção de d_z. Suspeita-se que as partículas carregadas tenham uma componente de velocidade vertical de tal forma que a velocidade de entrada das mesmas faz um ângulo \alpha com a direção normal ao anteparo. Assumindo essas considerações, calcule:

(a) \cos \alpha em termos de d_x, B, q, m e V;

(b) a distância d_z em termos de B, q, m, V e \alpha.

Esquema de um espectrômetro de massa mostrando uma câmara retangular com campo magnético B uniforme apontando para fora do plano. Uma partícula com carga +q e massa m é acelerada a partir de uma fonte S por uma d.d.p. V e entra por uma fenda na base da câmara. Duas trajetórias semicirculares pontilhadas são mostradas: a trajetória 1 (condição normal) atinge a placa detectora a uma distância horizontal x da fenda; a trajetória 2 (má condição de funcionamento) atinge a placa a uma distância menor, com desvio horizontal dx.

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Resolução comentada

a)

O íon sai da fonte com velocidade nula e é acelerado por V. Pela conservação de energia, qV=\frac{1}{2}mv^2, então:

v=\sqrt{\frac{2qV}{m}}

Na condição normal, \vec v\perp\vec B e o movimento é uma semicircunferência de raio R=\dfrac{mv}{qB}. Logo:

x=2R=\frac{2mv}{qB}

Na condição defeituosa, a velocidade (de mesmo módulo v) faz ângulo \alpha com a normal ao anteparo. Ela se decompõe em:

  • v\cos\alpha, no plano da figura, perpendicular a \vec B;
  • v\,\sen\alpha, na direção z, paralela a \vec B.

A componente paralela a \vec B não sofre força magnética, então o movimento é uma hélice. A projeção no plano da figura é uma semicircunferência de raio r=\dfrac{mv\cos\alpha}{qB}. Assim, a distância horizontal atingida é:

x-d_x=2r=x\cos\alpha

Portanto:

d_x=\frac{2mv}{qB}(1-\cos\alpha)\;\Rightarrow\;\cos\alpha=1-\frac{qB\,d_x}{2mv}

Como mv=\sqrt{2qVm}:

\cos\alpha=1-\frac{B\,d_x}{2}\sqrt{\frac{q}{2mV}}

\cos\alpha = 1-\dfrac{B\,d_x}{2}\sqrt{\dfrac{q}{2mV}}

b)

A componente v\,\sen\alpha é constante ao longo de z. O tempo até a placa é meia volta da projeção circular, ou seja, meio período, que independe de \alpha:

t=\frac{T}{2}=\frac{\pi m}{qB}

A elevação vertical é então:

d_z=v\,\sen\alpha\cdot t=\sqrt{\frac{2qV}{m}}\,\sen\alpha\cdot\frac{\pi m}{qB}

Simplificando, \dfrac{m}{q}\sqrt{\dfrac{2qV}{m}}=\sqrt{\dfrac{2mV}{q}}, e fica:

d_z=\frac{\pi\,\sen\alpha}{B}\sqrt{\frac{2mV}{q}}

d_z=\dfrac{\pi\,\sen\alpha}{B}\sqrt{\dfrac{2mV}{q}}

Assuntos: Força magnética, Potencial elétrico e energia potencial elétrica.

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Fonte: ITA 2ª fase 2022 · Física. Prova oficial ↗