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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Física) da 2ª fase do ITA 2022

Física · Física: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, considere as seguintes constantes:

Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0\times 10^8\ \text{m/s}.
Massa molar do ar seco m_{\text{ar}} = 29\ \text{g/mol}. Massa molar da água m_{\ce{H2O}} = 18\ \text{g/mol}.
Constante de Rydberg R_y = 13{,}6\ \text{eV}.

O LIGO é um observatório de ondas gravitacionais baseado em interferômetros de Michelson-Morley. Considere um interferômetro no qual um feixe LASER monocromático de 300\text{ nm} é dividido em dois feixes que percorrem dois caminhos ópticos de 4{,}0\text{ km}. Quando uma onda gravitacional atravessa esse sistema com velocidade c, o espaço-tempo é perturbado. Esse efeito pode ser aproximado como movimentos harmônicos simples do espelho 1 e do espelho 2 ao longo dos caminhos ópticos de seus respectivos feixes incidentes. Enquanto um comprimento de um braço do interferômetro contrai, o outro se dilata na mesma amplitude. Durante a passagem da onda gravitacional, o sinal medido no detector, originalmente igual a I_0, passa a descrever um comportamento como o representado no gráfico abaixo.

Diagrama esquemático de um interferômetro de Michelson-Morley com fonte laser, divisor de feixes, espelho 1, espelho 2 e detector.
Gráfico da Intensidade em função do Tempo (s), oscilando periodicamente entre 3I₀/4 e I₀, com picos nos tempos 0, 0,2, 0,4, 0,6, 0,8 e 1,0 s.

Faça o que se pede nos itens a seguir.

(a) Determine o comprimento de onda da onda gravitacional detectada.

(b) Qual a máxima variação do comprimento de cada braço do interferômetro?

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Resolução comentada

a) Os espelhos fazem MHS com a frequência da onda gravitacional. Um braço se alonga em x e o outro se encurta em x, com x(t)=x_0\,\text{sen}(\omega t).

A intensidade no detector depende só da diferença de caminhos, que é proporcional a x. O sinal é máximo (I_0) quando x=0 e mínimo (3I_0/4) quando x=\pm x_0, seja o extremo positivo ou o negativo. Logo a intensidade passa por um máximo toda vez que x=0, ou seja, duas vezes por período do MHS.

No gráfico, os máximos ocorrem a cada 0{,}2\ \text{s}. Isso é meio período do MHS:

\frac{T}{2}=0{,}2\ \text{s}\Rightarrow T=0{,}4\ \text{s}\Rightarrow f=2{,}5\ \text{Hz}

A onda gravitacional se propaga com velocidade c:

\lambda=\frac{c}{f}=\frac{3{,}0\times10^{8}}{2{,}5}=1{,}2\times10^{8}\ \text{m}

\lambda = 1{,}2\times10^{8}\ \text{m}

b) Com defasagem \delta entre os feixes, a intensidade no detector é I=I_0\cos^2(\delta/2). O mínimo do gráfico dá:

\cos^2\frac{\delta}{2}=\frac34\Rightarrow\frac{\delta}{2}=\frac{\pi}{6}\Rightarrow\delta=\frac{\pi}{3}

A defasagem se relaciona com a diferença de caminho \Delta por \delta=2\pi\Delta/\lambda_L, com \lambda_L=300\ \text{nm}. Então:

\Delta=\frac{\delta}{2\pi}\lambda_L=\frac{\lambda_L}{6}=50\ \text{nm}

Quando um braço varia +x_0 e o outro -x_0, a diferença entre os comprimentos dos braços é 2x_0. A luz vai e volta, então a diferença de caminho percorrido é \Delta=2\cdot 2x_0=4x_0:

x_0=\frac{\Delta}{4}=\frac{50}{4}=12{,}5\ \text{nm}

x_0 = 12{,}5\ \text{nm}=1{,}25\times10^{-8}\ \text{m}

Assuntos: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização, Movimento harmônico simples e pêndulos.

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Fonte: ITA 2ª fase 2022 · Física. Prova oficial ↗