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Questão 5 (Física) da 2ª fase do ITA 2022

Física · Física: Gases ideais e transformações gasosas

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, considere as seguintes constantes:

Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0\times 10^8\ \text{m/s}.
Massa molar do ar seco m_{\text{ar}} = 29\ \text{g/mol}. Massa molar da água m_{\ce{H2O}} = 18\ \text{g/mol}.
Constante de Rydberg R_y = 13{,}6\ \text{eV}.

Uma cidade localiza-se ao nível do mar, próxima à costa oceânica à oeste e a poucos quilômetros de uma cordilheira. Durante o dia, uma brisa constante úmida de ar flui da costa para a montanha. Um barômetro localizado na cidade indica uma pressão de 100\text{ kPa} a temperatura de 25^\circ\text{C}. Por sua vez, um outro barômetro localizado no ponto mais alto da cordilheira indica uma pressão de 80\text{ kPa}. Considere que o calor específico molar do ar a volume constante vale 2R. Se necessário, considere: \sqrt[3]{2} \approx 1{,}26 e \sqrt[3]{10} \approx 2{,}15.

(a) Estime a temperatura no ponto mais alto da cordilheira em Kelvin.

(b) Considerando uma umidade relativa \phi_0 = 50\ \% ao nível do mar e \phi_1 = 10\ \% no ponto mais alto da cordilheira, estime o volume de água em \text{m}^3 que precipita por hora na trajetória da brisa entre a cidade e o pico se o fluxo médio de ar seco que alcança o topo da cordilheira for de 2{,}0 \times 10^9\text{ kg/h}.

(c) Explique qualitativamente a razão pela qual desertos se formam no lado continental das cordilheiras

Gráfico da pressão máxima de vapor (em kPa) em função da temperatura (em °C). O eixo vertical vai de 0 a 8 kPa, com marcações a cada 1 kPa e linhas de grade tracejadas. O eixo horizontal vai de 0 a 40 °C, com marcações a cada 10 °C e linhas de grade tracejadas verticais. A curva é contínua e crescente, passando aproximadamente pelos pontos (0; 0,6), (10; 1,4), (20; 2,5), (30; 4,4) e (40; 7,4).

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Resolução comentada

a) O ar que sobe a montanha se expande rapidamente e sem trocar calor relevante com o ambiente, então a transformação é adiabática.

Com C_v = 2R, o calor específico molar a pressão constante é C_p = C_v + R = 3R. Logo:

\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{3}{2}

Numa adiabática, T\,p^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = \text{const}, ou seja, T \propto p^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} = p^{1/3}.

Na cidade, T_0 = 25 + 273 = 298\ \text{K} e p_0 = 100\ \text{kPa}. No topo, p_1 = 80\ \text{kPa}:

T_1 = 298\left(\frac{80}{100}\right)^{1/3} = 298\cdot\frac{2}{\sqrt[3]{10}} = 298\cdot\frac{2}{2{,}15}\approx 298\cdot 0{,}93 \approx 277\ \text{K}

Isso dá cerca de 4\ ^\circ\text{C}.

T_1 \approx 277\ \text{K}

b) Primeiro, leia a pressão máxima de vapor no gráfico.

  • Nível do mar, 25\ ^\circ\text{C}: p_{sat}\approx 3{,}2\ \text{kPa}. Com \phi_0 = 50\%, p_{v0} = 1{,}6\ \text{kPa}.
  • Topo, \approx 4\ ^\circ\text{C}: p_{sat}\approx 0{,}8\ \text{kPa}. Com \phi_1 = 10\%, p_{v1} = 0{,}08\ \text{kPa}.

A pressão total é a soma das pressões parciais do ar seco e do vapor. Para gases ideais na mesma temperatura e volume, a razão entre massas é

\frac{m_{vapor}}{m_{ar\ seco}} = \frac{p_v}{p_{seco}}\cdot\frac{18}{29}
  1. Nível do mar: p_{seco} = 100 - 1{,}6 = 98{,}4\ \text{kPa}, então \dfrac{m_v}{m_{ar}} = \dfrac{1{,}6}{98{,}4}\cdot\dfrac{18}{29}\approx 1{,}01\times10^{-2}.
  2. Topo: p_{seco} = 80 - 0{,}08 = 79{,}92\ \text{kPa}, então \dfrac{m_v}{m_{ar}} = \dfrac{0{,}08}{79{,}92}\cdot\dfrac{18}{29}\approx 6{,}2\times10^{-4}.
  3. A água que sai do ar (precipita) por kg de ar seco é \approx 1{,}01\times10^{-2} - 0{,}06\times10^{-2}\approx 9{,}5\times10^{-3}.
  4. Massa precipitada por hora: 9{,}5\times10^{-3}\cdot 2{,}0\times10^{9}\approx 1{,}9\times10^{7}\ \text{kg/h}.
  5. Com \rho_{\text{água}} = 1000\ \text{kg/m}^3:
V = \frac{1{,}9\times10^{7}}{10^{3}}\approx 1{,}9\times10^{4}\ \text{m}^3/\text{h}

V\approx 1{,}9\times10^{4}\ \text{m}^3 por hora

c) Ao subir a encosta voltada para o mar, o ar úmido se expande e esfria. A pressão máxima de vapor cai, o vapor condensa e vira nuvem e chuva, de modo que o ar perde boa parte da água na encosta do lado do mar.

Ao descer o lado continental, esse ar já seco é comprimido e esquenta. Sua umidade relativa fica ainda menor, o que dificulta a formação de nuvens e chuva. Esse lado fica seco e pode formar deserto ("sombra de chuva").

O ar perde a umidade ao subir e chover no lado do mar, e desce seco e mais quente no lado continental, sem condições de produzir chuva.

Assuntos: Gases ideais e transformações gasosas, Mudanças de estado físico e calor latente.

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Fonte: ITA 2ª fase 2022 · Física. Prova oficial ↗