Questão 4 (Física) da 2ª fase do ITA 2022

Question

Considere um cubo de lado a, que contém n mols de um gás ideal em equilíbrio termodinâmico, sobre o qual é colocado um recipiente cilíndrico de altura h e raio r, completamente preenchido de um fluido de densidade \rho. O cilindro e o cubo são separados por uma membrana flexível. No topo do cilindro, há uma outra membrana flexível sobre a qual é colocada um corpo de massa m. Sabendo que a velocidade de propagação do som é v_0 a uma temperatura T_0, que a pressão atmosférica vale P_{atm} e que uma fonte sonora gera uma onda com frequência f no interior do cubo, determine:

Esquema composto por um cubo de aresta a contendo n mols de gás e uma fonte sonora emitindo ondas. Acima do cubo está posicionado um tubo cilíndrico vertical de altura h preenchido com fluido de densidade rho. No topo do cilindro, sobre uma membrana circular flexível em vermelho, apoia-se um corpo de massa m.

(a) a temperatura do gás no interior do cubo;

(b) uma expressão para o comprimento de onda dessa onda no meio gasoso.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Física) da 2ª fase do ITA 2022

Física · Física: Gases ideais e transformações gasosas

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, considere as seguintes constantes:

Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0\times 10^8\ \text{m/s}.
Massa molar do ar seco m_{\text{ar}} = 29\ \text{g/mol}. Massa molar da água m_{\ce{H2O}} = 18\ \text{g/mol}.
Constante de Rydberg R_y = 13{,}6\ \text{eV}.

Considere um cubo de lado a, que contém n mols de um gás ideal em equilíbrio termodinâmico, sobre o qual é colocado um recipiente cilíndrico de altura h e raio r, completamente preenchido de um fluido de densidade \rho. O cilindro e o cubo são separados por uma membrana flexível. No topo do cilindro, há uma outra membrana flexível sobre a qual é colocada um corpo de massa m. Sabendo que a velocidade de propagação do som é v_0 a uma temperatura T_0, que a pressão atmosférica vale P_{atm} e que uma fonte sonora gera uma onda com frequência f no interior do cubo, determine:

Esquema composto por um cubo de aresta a contendo n mols de gás e uma fonte sonora emitindo ondas. Acima do cubo está posicionado um tubo cilíndrico vertical de altura h preenchido com fluido de densidade rho. No topo do cilindro, sobre uma membrana circular flexível em vermelho, apoia-se um corpo de massa m.

(a) a temperatura do gás no interior do cubo;

(b) uma expressão para o comprimento de onda dessa onda no meio gasoso.

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Resolução comentada

a)

As membranas são flexíveis e de massa desprezível, então a pressão se transmite através delas (princípio de Pascal). Vamos supor que o corpo de massa m apoia o peso sobre toda a membrana de área \pi r^2.

A pressão do gás é a pressão na base da coluna de fluido. Ela soma três parcelas: a atmosférica, a do peso do corpo e a da coluna de fluido de altura h:

P = P_{atm} + \frac{mg}{\pi r^2} + \rho g h

O gás ocupa o cubo, de volume V = a^3. Pela equação de Clapeyron, PV = nRT, onde R é a constante universal dos gases:

T = \frac{P a^3}{nR} = \frac{a^3}{nR}\left(P_{atm} + \frac{mg}{\pi r^2} + \rho g h\right)

T = \dfrac{a^3}{nR}\left(P_{atm} + \dfrac{mg}{\pi r^2} + \rho g h\right)

b)

Para um gás ideal, a velocidade do som é proporcional à raiz quadrada da temperatura absoluta: v \propto \sqrt{T}. Sabemos que v = v_0 em T_0, então no gás à temperatura T:

v = v_0\sqrt{\frac{T}{T_0}}

O comprimento de onda é \lambda = v/f. Substituindo T do item (a):

\lambda = \frac{v_0}{f}\sqrt{\frac{T}{T_0}} = \frac{v_0}{f}\sqrt{\frac{a^3}{nRT_0}\left(P_{atm} + \frac{mg}{\pi r^2} + \rho g h\right)}

\lambda = \dfrac{v_0}{f}\sqrt{\dfrac{a^3}{nRT_0}\left(P_{atm} + \dfrac{mg}{\pi r^2} + \rho g h\right)}

Assuntos: Gases ideais e transformações gasosas, Pressão hidrostática: Stevin e Pascal, Ondas sonoras e acústica.

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Questão 4 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2022

Fonte: ITA 2ª fase 2022 · Física. Prova oficial ↗