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Questão 2 (Física) da 2ª fase do ITA 2022

Física · Física: Gravitação universal e satélites

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, considere as seguintes constantes:

Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0\times 10^8\ \text{m/s}.
Massa molar do ar seco m_{\text{ar}} = 29\ \text{g/mol}. Massa molar da água m_{\ce{H2O}} = 18\ \text{g/mol}.
Constante de Rydberg R_y = 13{,}6\ \text{eV}.

Existe um limite inferior da distância Terra-Lua para que o nosso satélite não se desintegre por efeitos de maré. Para determinar uma expressão aproximada dessa distância, considere a Lua como a composição de dois semi-satélites esféricos idênticos, homogêneos e em contato. Os corpos descritos realizam um movimento circular ao redor da Terra, cuja massa é dada por M_T, com os três centros sempre colineares. A estabilidade da Lua é associada à tendência natural dessas duas metades manterem o contato entre si por efeitos gravitacionais. Considerando que o raio da lua R_L é muito menor do que a distância Terra-Lua D e que M_T é muito maior que a massa da Lua M_L, faça o que se pede.
Caso necessário, use: (1 + x)^n \approx 1 + nx, se |x| \ll 1.

(a) Considerando que os semi-satélites têm a mesma densidade da Lua, determine os seus raios r e massas m. Deixe sua resposta em termos dos dados do enunciado.

(b) Estime o valor mínimo de D para que a Lua não se desintegre. Deixe sua resposta em termos de M_T, m e r.

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Resolução comentada

a) Os dois semi-satélites têm a mesma densidade da Lua e juntos formam a Lua. Cada um tem, portanto, metade da massa e metade do volume da Lua.

Massa de cada um:

m=\frac{M_L}{2}

Volume de cada um:

\frac{4}{3}\pi r^3=\frac12\cdot\frac43\pi R_L^3 \;\Rightarrow\; r^3=\frac{R_L^3}{2}

r=\dfrac{R_L}{\sqrt[3]{2}} e m=\dfrac{M_L}{2}

b) Os centros dos semi-satélites ficam a D-r e D+r da Terra, e a distância entre eles é 2r. Como M_T\gg M_L, a velocidade angular do conjunto é \omega^2=\dfrac{GM_T}{D^3}, a mesma para os dois semi-satélites, já que os centros estão sempre alinhados com a Terra.

No limite da desintegração, a força normal de contato entre as metades se anula, e só a atração gravitacional entre elas mantém o contato.

Tomo o semi-satélite mais distante, em D+r. As forças sobre ele, na direção radial, são a atração da Terra e a atração da outra metade, ambas apontando para a Terra:

m\omega^2(D+r)=\frac{GM_Tm}{(D+r)^2}+\frac{Gm^2}{(2r)^2}

Substituindo \omega^2 e dividindo por m:

GM_T\left[\frac{D+r}{D^3}-\frac{1}{(D+r)^2}\right]=\frac{Gm}{4r^2}

Como r\ll D, uso (1+x)^n\approx1+nx:

\frac{D+r}{D^3}=\frac1{D^2}\left(1+\frac rD\right),\qquad \frac1{(D+r)^2}\approx\frac1{D^2}\left(1-\frac{2r}{D}\right)

A diferença entre os dois termos vale \dfrac{3r}{D^3}. Então:

\frac{3M_Tr}{D^3}=\frac{m}{4r^2}\;\Rightarrow\; D^3=\frac{12\,M_T\,r^3}{m}

O semi-satélite mais próximo dá o mesmo resultado. A maré só mantém as duas metades unidas se D for maior que esse valor, que é o mínimo.

D_{\min}=r\left(\dfrac{12\,M_T}{m}\right)^{1/3}

Assunto: Gravitação universal e satélites.

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Ver como caiu na prova Questão 2 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2022

Fonte: ITA 2ª fase 2022 · Física. Prova oficial ↗