Questão 9 (Física) da 2ª fase do ITA 2021

Question

Uma espira circular condutora de raio R, feita de um fio fino de resistividade elétrica \rho e massa específica \rho_m, cuja secção transversal tem diâmetro d, está caindo, com velocidade v variável, sob a ação da gravidade, em uma região de campo magnético não uniforme. A componente vertical do campo magnético obedece a relação B_z=B_0(1 + kz), em que B_0 e k são constantes físicas de unidade adequadas e z é a coordenada vertical. A espira mantém-se sempre paralela ao plano xy, como mostra a figura. Desprezando os efeitos da resistência do ar no movimento de queda da espira, faça o que se pede nos itens a seguir.

Espira condutora de raio R e fio de diâmetro d imersa em linhas de campo magnético B no sistema de coordenadas cartesianas xyz

(a) Calcule a potência elétrica instantânea dissipada na espira.

(b) Calcule a velocidade terminal de queda v_t da espira.

Answer 1

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Questão 9 (Física) da 2ª fase do ITA 2021

Física · Física: Indução eletromagnética e transformadores

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, considere as seguintes constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Densidade da água 1{,}0\ \text{g/cm}^3.
Calor de vaporização da água 2400\ \text{kJ/kg}. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0\times 10^8\ \text{m/s}.
Constante universal da gravitação G. Constante de Planck h.

Uma espira circular condutora de raio R, feita de um fio fino de resistividade elétrica \rho e massa específica \rho_m, cuja secção transversal tem diâmetro d, está caindo, com velocidade v variável, sob a ação da gravidade, em uma região de campo magnético não uniforme. A componente vertical do campo magnético obedece a relação B_z=B_0(1 + kz), em que B_0 e k são constantes físicas de unidade adequadas e z é a coordenada vertical. A espira mantém-se sempre paralela ao plano xy, como mostra a figura. Desprezando os efeitos da resistência do ar no movimento de queda da espira, faça o que se pede nos itens a seguir.

Espira condutora de raio R e fio de diâmetro d imersa em linhas de campo magnético B no sistema de coordenadas cartesianas xyz

(a) Calcule a potência elétrica instantânea dissipada na espira.

(b) Calcule a velocidade terminal de queda v_t da espira.

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Resolução comentada

a) O fluxo magnético pela espira é \Phi = B_z\,\pi R^2 = B_0(1+kz)\pi R^2. Como a espira cai com velocidade v = dz/dt, a lei de Faraday dá a fem induzida:

\varepsilon = \left|\frac{d\Phi}{dt}\right| = B_0 k\,\pi R^2\, v

A resistência do fio é r = \rho\dfrac{L}{A}, com comprimento L = 2\pi R e secção A = \dfrac{\pi d^2}{4}:

r = \frac{8\rho R}{d^2}

A potência dissipada por efeito Joule é P = \varepsilon^2/r:

P = \frac{(B_0 k\pi R^2 v)^2\, d^2}{8\rho R} = \frac{\pi^2 B_0^2 k^2 R^3 d^2}{8\rho}\,v^2

P = \dfrac{\pi^2 B_0^2 k^2 R^3 d^2\, v^2}{8\rho}

b) Na velocidade terminal a aceleração é nula. A força magnética, que é a força que freia a espira, equilibra o peso. Então a potência que o peso fornece, mgv_t, é toda dissipada na espira.

A massa é a massa específica vezes o volume do fio:

m = \rho_m\,\frac{\pi d^2}{4}\,2\pi R = \frac{\pi^2\rho_m d^2 R}{2}

Igualando mgv_t = P(v_t):

\frac{\pi^2\rho_m d^2 R}{2}\,g\,v_t = \frac{\pi^2 B_0^2k^2R^3d^2}{8\rho}\,v_t^2

Simplificando:

v_t = \frac{4\rho\rho_m g}{B_0^2k^2R^2}

A análise dimensional confere e resulta em m/s.

v_t = \dfrac{4\rho\,\rho_m\, g}{B_0^2 k^2 R^2}

Assuntos: Indução eletromagnética e transformadores, Resistência elétrica e leis de Ohm, Força magnética.

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Questão 9 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2021

Fonte: ITA 2ª fase 2021 · Física. Prova oficial ↗