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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Física) da 2ª fase do ITA 2021

Física · Física: Potencial elétrico e energia potencial elétrica

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, considere as seguintes constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Densidade da água 1{,}0\ \text{g/cm}^3.
Calor de vaporização da água 2400\ \text{kJ/kg}. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0\times 10^8\ \text{m/s}.
Constante universal da gravitação G. Constante de Planck h.

Um anel circular de raio R e densidade linear de carga elétrica \lambda está localizado no plano yz com o seu centro na origem do sistema de coordenadas O, como mostra a figura. Uma partícula de massa m e carga q é projetada a partir do ponto P(-\sqrt{3}R,\, 0,\, 0) em direção ao ponto O, com velocidade inicial v. Qual o menor valor de v para que a partícula não retorne ao ponto P?

Esquema tridimensional mostrando um anel de raio R contido no plano yz com centro na origem O. Os eixos x (horizontal para a direita) e z (para a frente e à esquerda) são indicados. No semieixo x negativo, o ponto P com uma partícula é mostrado com um vetor velocidade apontando ao longo do eixo x em direção à origem O.

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Resolução comentada

a) Vamos usar conservação de energia e o potencial elétrico do anel sobre o eixo x.

A carga total do anel é Q=\lambda\cdot 2\pi R. Todos os pontos do anel estão à mesma distância d=\sqrt{R^2+x^2} de um ponto do eixo. Logo:

V(x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2\pi R\lambda}{\sqrt{R^2+x^2}}=\frac{\lambda R}{2\varepsilon_0\sqrt{R^2+x^2}}

Nos dois pontos que interessam:

  • Em P, x=-\sqrt3R, então d=2R e V_P=\dfrac{\lambda}{4\varepsilon_0}.
  • Em O, d=R e V_O=\dfrac{\lambda}{2\varepsilon_0}.

Caso q\lambda>0 (repulsão). A energia potencial qV é máxima em O. Se a partícula chegar a O, passa para o outro lado e é empurrada para longe, sem voltar a P. A condição mínima é chegar a O com velocidade nula:

\frac{1}{2}mv^2=q(V_O-V_P)=\frac{q\lambda}{4\varepsilon_0}\;\Rightarrow\; v=\sqrt{\frac{q\lambda}{2\varepsilon_0 m}}

Caso q\lambda<0 (atração). A partícula atravessa o anel, mas é puxada de volta. Ela só não retorna a P se escapar até o infinito, onde V=0:

\frac{1}{2}mv^2+qV_P\ge 0\;\Rightarrow\;\frac{1}{2}mv^2\ge\frac{|q\lambda|}{4\varepsilon_0}

O resultado tem o mesmo módulo do caso anterior.

Nos dois casos:

v_{\min}=\sqrt{\dfrac{|q\lambda|}{2\varepsilon_0 m}}

Assunto: Potencial elétrico e energia potencial elétrica.

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Fonte: ITA 2ª fase 2021 · Física. Prova oficial ↗