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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Física) da 2ª fase do ITA 2021

Física · Física: Física quântica: fóton e efeito fotoelétrico

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, considere as seguintes constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Densidade da água 1{,}0\ \text{g/cm}^3.
Calor de vaporização da água 2400\ \text{kJ/kg}. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0\times 10^8\ \text{m/s}.
Constante universal da gravitação G. Constante de Planck h.

Elétrons ultraenergéticos podem ser utilizados no estudo da estrutura subatômica da matéria desde que seus comprimentos de onda associados sejam compatíveis com as dimensões de um núcleo atômico. Levando em conta que o raio de um núcleo pesado pode ser aproximado por R=R_0 \sqrt[3]{A}, em que R_0 é uma distância característica e A o número de massa do núcleo, faça o que se pede nos itens a seguir.

(a) Estime a quantidade de movimento P de um elétron que possa ser usado para estudar a estrutura de um núcleo de urânio ^{235}_{92}U. Deixe sua resposta em termos de R_0 e de constantes físicas fundamentais.

(b) Considerando efeitos relativísticos, calcule a energia cinética dos elétrons descritos no item anterior. Deixe sua resposta em termos de R_0, da massa de repouso do elétron m_0 e de constantes físicas fundamentais.

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Resolução comentada

a)

Para "enxergar" a estrutura do núcleo, o comprimento de onda de de Broglie do elétron deve ser da ordem das dimensões do núcleo. Estimamos então \lambda \approx R.

Para o urânio, A=235:

\lambda \approx R = R_0\sqrt[3]{235}

Pela relação de de Broglie, \lambda = h/P, logo:

P=\frac{h}{\lambda}=\frac{h}{R_0\sqrt[3]{235}}

Como \sqrt[3]{235}\approx 6{,}2, temos P\approx \dfrac{h}{6{,}2\,R_0}.

P=\dfrac{h}{R_0\sqrt[3]{235}}

b)

Elétrons ultraenergéticos têm velocidade próxima de c, então a energia cinética deve ser calculada de forma relativística. A energia total satisfaz:

E^2=(Pc)^2+(m_0c^2)^2

A energia cinética é a energia total menos a energia de repouso:

K=E-m_0c^2=\sqrt{(Pc)^2+(m_0c^2)^2}-m_0c^2

Substituindo P do item (a):

K=\sqrt{\frac{h^2c^2}{R_0^2\,235^{2/3}}+m_0^2c^4}-m_0c^2

No limite ultrarrelativístico, Pc\gg m_0c^2, isso se reduz a K\approx Pc=\dfrac{hc}{R_0\sqrt[3]{235}}.

K=\sqrt{\dfrac{h^2c^2}{R_0^2\,(235)^{2/3}}+m_0^2c^4}-m_0c^2

Assuntos: Física quântica: fóton e efeito fotoelétrico, Relatividade restrita.

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Fonte: ITA 2ª fase 2021 · Física. Prova oficial ↗