PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 10 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2021
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Notações
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \cdots\} : o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Uma moeda é lançada sucessivas vezes até que se tenha a ocorrência de 2 caras. Qual a probabilidade do número total de lançamentos ser par?
Reportar erro na questão
Resolução comentada
a) Vou considerar a moeda honesta, com P(\text{cara}) = P(\text{coroa}) = \tfrac12.
O jogo termina no lançamento n quando esse lançamento é a 2ª cara. Isso exige exatamente 1 cara entre os n-1 primeiros lançamentos e cara no n-ésimo. Há n-1 posições possíveis para a primeira cara, e cada sequência tem probabilidade \left(\tfrac12\right)^n:
Para N par, tomamos n=2k com k\ge1:
Usamos as séries geométricas, com x=\tfrac14:
- \displaystyle\sum_{k\ge1} x^k = \frac{x}{1-x} = \frac{1/4}{3/4} = \frac13
- \displaystyle\sum_{k\ge1} k\,x^k = \frac{x}{(1-x)^2} = \frac{1/4}{9/16} = \frac49
Então:
Conferência: para N ímpar, n=2k+1 com k\ge1, a soma é \sum 2k\,/\,2^{2k+1} = \sum k\,x^k = \tfrac49. Como \tfrac59+\tfrac49=1, o resultado está coerente.
Resposta: \dfrac{5}{9}
Assunto: Eventos sucessivos e distribuição binomial.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
Fonte: ITA 2ª fase 2021 · Matemática. Prova oficial ↗