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Questão 7 (Física) da 2ª fase do ITA 2021

Física · Física: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, considere as seguintes constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Densidade da água 1{,}0\ \text{g/cm}^3.
Calor de vaporização da água 2400\ \text{kJ/kg}. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0\times 10^8\ \text{m/s}.
Constante universal da gravitação G. Constante de Planck h.

Dois feixes de comprimento de onda \lambda, paralelos e de intensidade I_0, incidem com inclinação \theta = 60^\circ com a vertical sobre dois espelhos horizontais, conforme ilustra a figura. O espelho superior encontra-se fixo enquanto o inferior, de massa m, está ligado a uma mola de constante elástica k e realiza um movimento oscilatório de pequena amplitude. O espelho inferior é liberado para oscilar em t=0\ \mu\text{s}, a partir do repouso e da posição na qual a mola está relaxada. Os feixes são refletidos pelos espelhos e analisados em um detector, que registra a intensidade da onda resultante da superposição dos feixes. Os resultados coletados são mostrados no gráfico a seguir. Com base nas informações fornecidas, determine o maior valor possível de \lambda.

Esquema experimental à esquerda com um emissor lançando dois feixes paralelos de intensidade I₀ com inclinação θ em relação à vertical; um feixe reflete em um espelho fixo e o outro em um espelho de massa m sobre uma mola de constante k na vertical sob gravidade g, ambos convergindo para um detector. À direita, gráfico da Intensidade versus tempo em microssegundos, com curva oscilando entre 0 e 4I₀, iniciando em 4I₀ no instante 0 e atingindo intensidade nula nos instantes 1, 3 e 5 microssegundos.

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Resolução comentada

a)

Diferença de caminho. Se o espelho inferior desce uma distância d, o feixe percorre a mais 2d\cos\theta. Com \theta=60^\circ, isso vale d. A intensidade resultante é

I=4I_0\cos^2\!\left(\frac{\pi d}{\lambda}\right).

O máximo (4I_0) ocorre para d=n\lambda, e o zero para d=(2n+1)\lambda/2.

Movimento do espelho. Ele parte do repouso com a mola relaxada, com a gravidade atuando. A posição de equilíbrio fica mg/k abaixo do ponto de partida, então a amplitude é

A=\frac{mg}{k}=\frac{g}{\omega^2},\qquad \omega^2=\frac{k}{m}.

O deslocamento para baixo é d(t)=A(1-\cos\omega t), que varia entre 0 e 2A.

Leitura do gráfico. Há máximo em 0,\,2,\,4\ \mu\text{s} e zeros em 1,\,3,\,5\ \mu\text{s}. Entre dois máximos consecutivos aparece um único zero, ou seja, d varia no máximo de \lambda/2 nesse trecho. Há duas leituras possíveis:

  • Período T=4\ \mu\text{s}. O espelho chega a d=2A em t=2\ \mu\text{s}, com 2A=\lambda (máximo). Em t=1\ \mu\text{s}, d=A=\lambda/2 (zero). Então \lambda=2A.
  • Período T=2\ \mu\text{s}. O espelho chega a d=2A em t=1\ \mu\text{s}, com 2A=\lambda/2 (zero). Então \lambda=4A, mas A fica 4 vezes menor.

Para comparar, calculo A nos dois casos.

  1. Para T=4\ \mu\text{s}: \omega=\dfrac{2\pi}{4\times10^{-6}}=\dfrac{\pi}{2}\times10^{6}\ \text{rad/s}.
  2. A=\dfrac{g}{\omega^2}=\dfrac{10\cdot 4}{\pi^2\times10^{12}}\approx4{,}05\times10^{-12}\ \text{m}.
  3. \lambda=2A\approx 8{,}1\times10^{-12}\ \text{m}.

Para T=2\ \mu\text{s}: \omega=\pi\times10^6\ \text{rad/s}, A\approx1{,}01\times10^{-12}\ \text{m} e \lambda=4A\approx4{,}05\times10^{-12}\ \text{m}, que é menor.

O maior valor possível de \lambda é, portanto,

\lambda\approx 8\times10^{-12}\ \text{m} (cerca de 8{,}1\times10^{-12}\ \text{m}).

Assuntos: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização, Movimento harmônico simples e pêndulos.

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Fonte: ITA 2ª fase 2021 · Física. Prova oficial ↗