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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Física) da 2ª fase do ITA 2021

Física · Física: Gravitação universal e satélites

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, considere as seguintes constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Densidade da água 1{,}0\ \text{g/cm}^3.
Calor de vaporização da água 2400\ \text{kJ/kg}. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0\times 10^8\ \text{m/s}.
Constante universal da gravitação G. Constante de Planck h.

Considere dois corpos celestes esféricos e uniformes, de raios R_1 e R_2, massas m_1 e m_2, respectivamente, cujos centros encontram-se inicialmente em repouso, a uma distância r_0. Devido à interação gravitacional mútua, os corpos iniciam um movimento de aproximação, que dura até o choque entre eles. Determine as velocidades finais dos corpos na iminência da colisão em função de G, r_0, seus raios e suas massas.

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Resolução comentada

Não há itens separados: a questão pede as velocidades v_1 e v_2 dos corpos na iminência do choque, quando a distância entre os centros é R_1+R_2.

Resolução

Só atuam forças gravitacionais internas ao sistema. Por isso, valem duas conservações.

  1. Momento linear. O sistema parte do repouso, então o momento total é nulo o tempo todo:
m_1 v_1 = m_2 v_2 \quad\Rightarrow\quad v_2=\frac{m_1}{m_2}\,v_1

Os corpos se movem em sentidos opostos, na reta que une os centros.

  1. Energia mecânica. A energia potencial gravitacional de duas esferas uniformes é a de duas massas puntuais nos centros, -\dfrac{Gm_1m_2}{r}. Inicialmente a energia cinética é nula e r=r_0. Na iminência da colisão, r=R_1+R_2:
-\frac{Gm_1m_2}{r_0}=\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2}-\frac{Gm_1m_2}{R_1+R_2}
\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2}=Gm_1m_2\left(\frac{1}{R_1+R_2}-\frac{1}{r_0}\right)
  1. Substituição. Com v_2=\dfrac{m_1}{m_2}v_1:
\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_1^2v_1^2}{2m_2}=\frac{m_1v_1^2}{2}\cdot\frac{m_1+m_2}{m_2}

Igualando ao lado direito:

\frac{m_1(m_1+m_2)}{2m_2}v_1^2=Gm_1m_2\left(\frac{1}{R_1+R_2}-\frac{1}{r_0}\right)
v_1^2=\frac{2Gm_2^2}{m_1+m_2}\left(\frac{1}{R_1+R_2}-\frac{1}{r_0}\right)

Por simetria (trocando os índices):

v_2^2=\frac{2Gm_1^2}{m_1+m_2}\left(\frac{1}{R_1+R_2}-\frac{1}{r_0}\right)

Conferindo: m_1v_1=m_1m_2\sqrt{\cdot}=m_2v_2, como exigido pelo momento.

Resposta:

v_1=m_2\sqrt{\frac{2G}{m_1+m_2}\left(\frac{1}{R_1+R_2}-\frac{1}{r_0}\right)},\qquad v_2=m_1\sqrt{\frac{2G}{m_1+m_2}\left(\frac{1}{R_1+R_2}-\frac{1}{r_0}\right)}

Assuntos: Gravitação universal e satélites, Impulso e quantidade de movimento.

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Fonte: ITA 2ª fase 2021 · Física. Prova oficial ↗