Questão 2 (Física) da 2ª fase do ITA 2021

Question

Uma pequena esfera de massa m e carga +q está conectada por um fio inextensível preso num ponto O e se move num círculo de raio r sobre um plano liso de inclinação \alpha com a horizontal. Na região existe um campo magnético \vec{B} uniforme e constante, perpendicular ao plano inclinado como ilustra a figura. Se a esfera possui uma velocidade \vec{v} no ponto mais alto da trajetória, determine a tração no fio quando a esfera passa pelas posições D e E indicadas na figura. Considere o sentido de \vec{v} indicado na figura.

Esfera de massa m e carga +q conectada a um fio de raio r girando sobre a superfície de um plano inclinado de ângulo alfa. Um campo magnético B uniforme aponta perpendicularmente para fora da superfície, e a aceleração da gravidade g é vertical para baixo. São indicadas as posições D e E na trajetória circular, e o vetor velocidade v no ponto mais alto.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Física) da 2ª fase do ITA 2021

Física · Física: Força magnética

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, considere as seguintes constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Densidade da água 1{,}0\ \text{g/cm}^3.
Calor de vaporização da água 2400\ \text{kJ/kg}. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0\times 10^8\ \text{m/s}.
Constante universal da gravitação G. Constante de Planck h.

Uma pequena esfera de massa m e carga +q está conectada por um fio inextensível preso num ponto O e se move num círculo de raio r sobre um plano liso de inclinação \alpha com a horizontal. Na região existe um campo magnético \vec{B} uniforme e constante, perpendicular ao plano inclinado como ilustra a figura. Se a esfera possui uma velocidade \vec{v} no ponto mais alto da trajetória, determine a tração no fio quando a esfera passa pelas posições D e E indicadas na figura. Considere o sentido de \vec{v} indicado na figura.

Esfera de massa m e carga +q conectada a um fio de raio r girando sobre a superfície de um plano inclinado de ângulo alfa. Um campo magnético B uniforme aponta perpendicularmente para fora da superfície, e a aceleração da gravidade g é vertical para baixo. São indicadas as posições D e E na trajetória circular, e o vetor velocidade v no ponto mais alto.

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Resolução comentada

a) A esfera descreve um círculo no plano inclinado, e o campo \vec B é perpendicular a esse plano. Dessa forma, a força magnética q\vec v\times\vec B está sempre no plano e é perpendicular a \vec v.

Pelo sentido de \vec v (do ponto mais alto em direção a D) e pelo sentido de \vec B na figura, a regra da mão direita mostra que, para a carga positiva, a força magnética aponta para fora do círculo, ou seja, no sentido oposto ao centro O. Ela vale F_m=qvB e não realiza trabalho.

Velocidades. A normal e a força magnética não realizam trabalho. Só o peso realiza, e o ponto mais alto está 2r\,\sen\alpha acima de E e r\,\sen\alpha acima de D (D está na altura de O). Por conservação da energia:

Em D: v_D^2=v^2+2gr\,\sen\alpha
Em E: v_E^2=v^2+4gr\,\sen\alpha

Ponto D. D está na extremidade do diâmetro horizontal. A componente do peso no plano, mg\,\sen\alpha, aponta ladeira abaixo, ou seja, tangente à trajetória, e não contribui na direção radial. A tração aponta para O e a força magnética para fora:

T_D-qv_DB=\frac{mv_D^2}{r}

T_D=\frac{m\left(v^2+2gr\,\sen\alpha\right)}{r}+qB\sqrt{v^2+2gr\,\sen\alpha}

Ponto E. E é o ponto mais baixo, e o centro O fica ladeira acima de E. Aqui a tração aponta para O, enquanto a componente mg\,\sen\alpha do peso e a força magnética apontam para fora:

T_E-mg\,\sen\alpha-qv_EB=\frac{mv_E^2}{r}

T_E=\frac{mv^2}{r}+5mg\,\sen\alpha+qB\sqrt{v^2+4gr\,\sen\alpha}

Respostas: T_D=\dfrac{m(v^2+2gr\,\sen\alpha)}{r}+qB\sqrt{v^2+2gr\,\sen\alpha} e T_E=\dfrac{mv^2}{r}+5mg\,\sen\alpha+qB\sqrt{v^2+4gr\,\sen\alpha}.

Assuntos: Força magnética, Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta).

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Questão 2 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2021

Fonte: ITA 2ª fase 2021 · Física. Prova oficial ↗