Questão 7 (Física) da 2ª fase do ITA 2020

Question

De uma altura de 52{,}5\text{ m} é solto um frasco indeformável contendo um gás monoatômico formado de partículas com massa de 4{,}20\times 10^{-24}\text{ g}, e de calor específico a volume constante igual a 1{,}25\text{ cal/g}^\circ\text{C}. Ao atingir o solo, a energia cinética do sistema é dissipada na forma de calor no próprio gás. Para uma temperatura inicial do gás de 16\ ^\circ\text{C}, determine a variação da velocidade quadrática média das partículas do gás devida à queda. Se necessário, use a aproximação binomial (1+x)^n \approx 1+nx, para |x| \ll 1. Desconsidere a massa do frasco.

Answer 1

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Questão 7 (Física) da 2ª fase do ITA 2020

Física · Física: Gases ideais e transformações gasosas

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Considere dadas as seguintes constantes físicas e, quando necessário, use estes seus valores bem como a conversão de unidades apresentada:

Aceleração local da gravidade: g = 10\text{ m/s}^2.
Constante de Boltzmann: k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\text{ J/K}.
Constante universal dos gases: R = 8\,\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}.
Densidade da água: 1{,}0\text{ g/cm}^3.
Velocidade da luz no vácuo: c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s}.
1{,}0\text{ cal} = 4{,}2\text{ J}.

De uma altura de 52{,}5\text{ m} é solto um frasco indeformável contendo um gás monoatômico formado de partículas com massa de 4{,}20\times 10^{-24}\text{ g}, e de calor específico a volume constante igual a 1{,}25\text{ cal/g}^\circ\text{C}. Ao atingir o solo, a energia cinética do sistema é dissipada na forma de calor no próprio gás. Para uma temperatura inicial do gás de 16\ ^\circ\text{C}, determine a variação da velocidade quadrática média das partículas do gás devida à queda. Se necessário, use a aproximação binomial (1+x)^n \approx 1+nx, para |x| \ll 1. Desconsidere a massa do frasco.

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Resolução comentada

a)

O frasco é indeformável e sua massa é desprezada, então toda a energia potencial do gás se transforma em calor dentro dele ao chocar com o solo. Para uma massa m de gás:

mgh = mc_V\Delta T \Rightarrow \Delta T=\frac{gh}{c_V}

Convertendo o calor específico: c_V = 1{,}25\ \text{cal/g}^\circ\text{C} = 1{,}25\cdot 4{,}2\ \text{J/g}^\circ\text{C}=5{,}25\ \text{J/g}^\circ\text{C}=5250\ \text{J/kg}\cdot\text{K}.

\Delta T=\frac{10\cdot 52{,}5}{5250}=0{,}1\ \text{K}

A velocidade quadrática média vem da teoria cinética:

v=\sqrt{\frac{3k_BT}{m}}

Com m=4{,}20\times10^{-24}\ \text{g}=4{,}20\times10^{-27}\ \text{kg} e T_0=16+273=289\ \text{K}:

v_0=\sqrt{\frac{3\cdot1{,}4\times10^{-23}\cdot289}{4{,}2\times10^{-27}}}=\sqrt{10^4\cdot289}=1700\ \text{m/s}

Após a queda, a temperatura é T_0+\Delta T:

v=v_0\sqrt{1+\frac{\Delta T}{T_0}}\approx v_0\left(1+\frac{\Delta T}{2T_0}\right)

A aproximação vale porque \Delta T/T_0 = 0{,}1/289 \ll 1. Logo:

\Delta v=\frac{v_0\,\Delta T}{2T_0}=\frac{1700\cdot0{,}1}{2\cdot289}=\frac{170}{578}\approx0{,}29\ \text{m/s}

A velocidade quadrática média aumenta cerca de 0{,}29\ \text{m/s}.

Assuntos: Gases ideais e transformações gasosas, Energia mecânica e sua conservação, Calorimetria: calor sensível e trocas de calor.

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Questão 7 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2020

Fonte: ITA 2ª fase 2020 · Física. Prova oficial ↗