Questão 5 (Física) da 2ª fase do ITA 2020

Question

Frentes de ondas planas de luz, de comprimento de onda \lambda, incidem num conjunto de três fendas, com a do centro situando-se a uma distância d das demais, conforme ilustra a figura. A uma distância D \gg d, um anteparo registra o padrão de interferência gerado pela difração da onda devido às fendas. Calcule:

$Esquema de um experimento de interferência em fenda tripla. À esquerda, quatro linhas verticais paralelas são rotuladas como "Frentes de ondas". Ao centro, uma barreira vertical possui três pequenas aberturas (fendas), sendo a fenda central separada tanto da fenda superior quanto da inferior por uma distância $d$. Um eixo horizontal tracejado $x$ passa pela fenda central. À direita, a uma distância horizontal $D$ da barreira das fendas, encontra-se uma parede vertical (anteparo) onde está marcado um ponto $P$ na parte superior. Uma seta parte da fenda central em direção ao ponto $P$, formando um ângulo $\theta$ com o eixo horizontal $x$.$

(a) A razão entre a intensidade da franja clara central e a das franjas claras vizinhas.

(b) Os ângulos \theta_n para os quais ocorrem franjas escuras.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Física) da 2ª fase do ITA 2020

Física · Física: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Considere dadas as seguintes constantes físicas e, quando necessário, use estes seus valores bem como a conversão de unidades apresentada:

Aceleração local da gravidade: g = 10\text{ m/s}^2.
Constante de Boltzmann: k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\text{ J/K}.
Constante universal dos gases: R = 8\,\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}.
Densidade da água: 1{,}0\text{ g/cm}^3.
Velocidade da luz no vácuo: c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s}.
1{,}0\text{ cal} = 4{,}2\text{ J}.

Frentes de ondas planas de luz, de comprimento de onda \lambda, incidem num conjunto de três fendas, com a do centro situando-se a uma distância d das demais, conforme ilustra a figura. A uma distância D \gg d, um anteparo registra o padrão de interferência gerado pela difração da onda devido às fendas. Calcule:

$Esquema de um experimento de interferência em fenda tripla. À esquerda, quatro linhas verticais paralelas são rotuladas como "Frentes de ondas". Ao centro, uma barreira vertical possui três pequenas aberturas (fendas), sendo a fenda central separada tanto da fenda superior quanto da inferior por uma distância $d$. Um eixo horizontal tracejado $x$ passa pela fenda central. À direita, a uma distância horizontal $D$ da barreira das fendas, encontra-se uma parede vertical (anteparo) onde está marcado um ponto $P$ na parte superior. Uma seta parte da fenda central em direção ao ponto $P$, formando um ângulo $\theta$ com o eixo horizontal $x$.$

(a) A razão entre a intensidade da franja clara central e a das franjas claras vizinhas.

(b) Os ângulos \theta_n para os quais ocorrem franjas escuras.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

a) Cada fenda emite uma onda de mesma amplitude A_0. Para um ponto P no ângulo \theta, a diferença de fase entre fendas vizinhas é \varphi=\dfrac{2\pi d\,\sen\theta}{\lambda}. A fenda do centro serve de referência e as outras duas têm fase \pm\varphi. A amplitude resultante é

A=A_0\left(1+e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}\right)=A_0\,(1+2\cos\varphi)

A intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude:

I(\varphi)=I_0\,(1+2\cos\varphi)^2

Aqui I_0 é a intensidade de uma fenda sozinha.

No máximo central, \varphi=0, então I_c=9I_0.

O máximo seguinte é o secundário, entre dois máximos principais. Ele ocorre em \varphi=\pi, ou seja, d\,\sen\theta=\lambda/2. Nele, \cos\varphi=-1 e I=I_0(1-2)^2=I_0.

A razão pedida é

\frac{I_c}{I_{viz}}=\frac{9I_0}{I_0}=9

(Os máximos principais de ordem superior, em \varphi=2\pi m, têm de novo 9I_0.)

Razão = 9

b) As franjas escuras ocorrem onde a intensidade é nula:

1+2\cos\varphi=0\;\Rightarrow\;\cos\varphi=-\tfrac12

Logo \varphi=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi m, com m inteiro. Substituindo \varphi:

\frac{2\pi d\,\sen\theta}{\lambda}=\frac{2\pi}{3}\,(3m\pm1)\;\Rightarrow\;d\,\sen\theta=\frac{n\lambda}{3}

Aqui n é inteiro e não múltiplo de 3, porque n=3m corresponde aos máximos principais. Portanto n=\pm1,\pm2,\pm4,\pm5,\dots, com |n\lambda/3d|\le1.

\theta_n=\arcsen\!\left(\dfrac{n\lambda}{3d}\right), com n inteiro não múltiplo de 3

Assunto: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 5 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2020

Fonte: ITA 2ª fase 2020 · Física. Prova oficial ↗