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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Física) da 2ª fase do ITA 2020

Física · Física: Gravitação universal e satélites

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Considere dadas as seguintes constantes físicas e, quando necessário, use estes seus valores bem como a conversão de unidades apresentada:

Aceleração local da gravidade: g = 10\text{ m/s}^2.
Constante de Boltzmann: k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\text{ J/K}.
Constante universal dos gases: R = 8\,\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}.
Densidade da água: 1{,}0\text{ g/cm}^3.
Velocidade da luz no vácuo: c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s}.
1{,}0\text{ cal} = 4{,}2\text{ J}.

Um planeta esférico de massa M e raio R gira com velocidade angular constante ao redor de seu eixo norte-sul. De um ponto de sua linha equatorial é lançado um satélite artificial de massa m \ll M sob ação de seus propulsores, que realizam um trabalho W. Em consequência, o satélite passa a descrever uma órbita elíptica em torno do planeta, com semieixo maior 2R. Calcule:

(a) A excentricidade máxima da órbita do satélite para que este complete uma volta ao redor do planeta.

(b) O período de rotação do planeta, levando em conta as grandezas intervenientes, inclusive a constante universal da gravitação G.

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Resolução comentada

a) Para o satélite completar uma volta, a órbita não pode cortar o planeta. O ponto de lançamento está na superfície, a uma distância R do centro, e pertence à órbita. A menor distância ao centro (periapsia) deve então ser pelo menos R:

r_{min}=a(1-e)\ge R \Rightarrow 2R(1-e)\ge R \Rightarrow e\le \frac12

A excentricidade máxima corresponde ao lançamento ocorrendo exatamente na periapsia, que tangencia a superfície.

e_{max}=\dfrac12

b) Use o teorema do trabalho e energia no referencial inertial (o do centro do planeta), onde o planeta gira com velocidade angular \omega.

  1. Energia inicial do satélite, antes dos propulsores. Ele acompanha o ponto do equador, com velocidade \omega R:

    E_i=\frac12 m\omega^2R^2-\frac{GMm}{R}

  2. Energia final, numa órbita elíptica de semieixo maior a=2R:

    E_f=-\frac{GMm}{2a}=-\frac{GMm}{4R}

  3. O trabalho dos propulsores é a variação da energia mecânica, W=E_f-E_i:

    W=-\frac{GMm}{4R}-\frac12 m\omega^2R^2+\frac{GMm}{R}=\frac{3GMm}{4R}-\frac12 m\omega^2R^2

  4. Isolando \omega:

    \omega^2=\frac{3GM}{2R^3}-\frac{2W}{mR^2}

  5. O período é T=2\pi/\omega:

    T=\frac{2\pi}{\sqrt{\dfrac{3GM}{2R^3}-\dfrac{2W}{mR^2}}}

T=2\pi\left(\dfrac{3GM}{2R^3}-\dfrac{2W}{mR^2}\right)^{-1/2}

Assunto: Gravitação universal e satélites.

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Fonte: ITA 2ª fase 2020 · Física. Prova oficial ↗