Questão 3 (Física) da 2ª fase do ITA 2020

Question

Uma mola de constante elástica k é presa a um bloco de massa m sobre um plano inclinado de um ângulo \alpha em relação à horizontal, onde interage entre superfícies um atrito de coeficiente \mu. Com o bloco deslocado forçadamente para baixo, a mola é distendida até um comprimento x = D da sua posição x = 0, quando livre em seu comprimento natural. A partir do repouso, o bloco é então liberado e se inicia um movimento oscilatório. Pedem-se:

$Esquema de um plano inclinado com ângulo $\alpha$ em relação à horizontal. Sobre o plano, um bloco de massa $m$ está ligado a uma mola de constante $k$ fixada no topo. A posição $x = 0$ marca a mola em seu comprimento natural, e $x = D$ a posição do bloco distendido. O vetor aceleração da gravidade $\vec{g}$ aponta verticalmente para baixo.$

(a) As possíveis posições finais x_f de parada do bloco após cessar o movimento oscilatório, em função das grandezas intervenientes.

(b) O gráfico da quantidade de movimento p do bloco em função da coordenada x, considerando o intervalo de tempo compreendido entre o início do movimento e o instante de sua primeira parada.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Física) da 2ª fase do ITA 2020

Física · Física: Energia mecânica e sua conservação

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Considere dadas as seguintes constantes físicas e, quando necessário, use estes seus valores bem como a conversão de unidades apresentada:

Aceleração local da gravidade: g = 10\text{ m/s}^2.
Constante de Boltzmann: k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\text{ J/K}.
Constante universal dos gases: R = 8\,\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}.
Densidade da água: 1{,}0\text{ g/cm}^3.
Velocidade da luz no vácuo: c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s}.
1{,}0\text{ cal} = 4{,}2\text{ J}.

Uma mola de constante elástica k é presa a um bloco de massa m sobre um plano inclinado de um ângulo \alpha em relação à horizontal, onde interage entre superfícies um atrito de coeficiente \mu. Com o bloco deslocado forçadamente para baixo, a mola é distendida até um comprimento x = D da sua posição x = 0, quando livre em seu comprimento natural. A partir do repouso, o bloco é então liberado e se inicia um movimento oscilatório. Pedem-se:

$Esquema de um plano inclinado com ângulo $\alpha$ em relação à horizontal. Sobre o plano, um bloco de massa $m$ está ligado a uma mola de constante $k$ fixada no topo. A posição $x = 0$ marca a mola em seu comprimento natural, e $x = D$ a posição do bloco distendido. O vetor aceleração da gravidade $\vec{g}$ aponta verticalmente para baixo.$

(a) As possíveis posições finais x_f de parada do bloco após cessar o movimento oscilatório, em função das grandezas intervenientes.

(b) O gráfico da quantidade de movimento p do bloco em função da coordenada x, considerando o intervalo de tempo compreendido entre o início do movimento e o instante de sua primeira parada.

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Resolução comentada

Adoto o eixo x ao longo do plano, com sentido para baixo e origem na posição de mola relaxada. Assumo o mesmo \mu para o atrito estático e o cinético.

a)

O bloco para quando a velocidade se anula e as forças ao longo do plano ficam em equilíbrio. Isso inclui o atrito estático, que pode assumir qualquer valor até o máximo \mu mg\cos\alpha.

As forças ao longo do plano são:

componente do peso, mg\,\sen\alpha, para baixo;
força elástica, kx, para cima (positiva quando a mola está distendida);
atrito estático, f_e, com |f_e|\le \mu mg\cos\alpha.

O equilíbrio exige

|kx_f - mg\,\sen\alpha|\le \mu mg\cos\alpha

Logo, qualquer posição final de repouso satisfaz

\frac{mg}{k}(\sen\alpha-\mu\cos\alpha)\le x_f\le \frac{mg}{k}(\sen\alpha+\mu\cos\alpha)

O ponto exato dentro desse intervalo depende do movimento anterior. Para que o bloco de fato se mova a partir de x=D, é preciso D>\frac{mg}{k}(\sen\alpha+\mu\cos\alpha). Caso contrário, ele fica parado em x_f=D.

Resposta: \dfrac{mg}{k}(\sen\alpha-\mu\cos\alpha)\le x_f\le\dfrac{mg}{k}(\sen\alpha+\mu\cos\alpha).

b)

Na subida (de x=D até a primeira parada) a velocidade aponta para cima, então o atrito aponta para baixo. A força resultante no sentido de x é

F=mg\,\sen\alpha+\mu mg\cos\alpha-kx=-k(x-x_1),\qquad x_1=\frac{mg}{k}(\sen\alpha+\mu\cos\alpha)

O movimento é, portanto, um MHS centrado em x_1. A amplitude é A=D-x_1, porque o bloco parte do repouso em x=D. A primeira parada ocorre em

x_P=x_1-A=2x_1-D

Pela conservação da energia no MHS,

\frac{p^2}{2m}=\frac{k}{2}\left[(D-x_1)^2-(x-x_1)^2\right]

\frac{p^2}{mk\,(D-x_1)^2}+\frac{(x-x_1)^2}{(D-x_1)^2}=1

Essa é a equação de uma elipse de centro (x_1,0). O semieixo em x vale D-x_1 e o semieixo em p vale (D-x_1)\sqrt{km}.

Como o bloco sobe, v<0 e p<0. O gráfico é, então, a semielipse inferior, percorrida de x=D (com p=0) até x=2x_1-D (com p=0).

O módulo máximo de p ocorre em x=x_1:

|p|_{máx}=\sqrt{km}\left[D-\frac{mg}{k}(\sen\alpha+\mu\cos\alpha)\right]

Se o eixo p fosse orientado para cima, a semielipse ficaria acima do eixo.

Resposta: semielipse (com p\le0 para x crescente para baixo) de centro (x_1,0), indo de x=D a x=2x_1-D, com x_1=\frac{mg}{k}(\sen\alpha+\mu\cos\alpha) e |p|_{máx}=\sqrt{km}\,(D-x_1).

Assuntos: Energia mecânica e sua conservação, Plano inclinado.

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Questão 3 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2020

Fonte: ITA 2ª fase 2020 · Física. Prova oficial ↗