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Questão 2 (Física) da 2ª fase do ITA 2020

Física · Física: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Considere dadas as seguintes constantes físicas e, quando necessário, use estes seus valores bem como a conversão de unidades apresentada:

Aceleração local da gravidade: g = 10\text{ m/s}^2.
Constante de Boltzmann: k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\text{ J/K}.
Constante universal dos gases: R = 8\,\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}.
Densidade da água: 1{,}0\text{ g/cm}^3.
Velocidade da luz no vácuo: c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s}.
1{,}0\text{ cal} = 4{,}2\text{ J}.

Uma prancha retangular de espessura uniforme, 5{,}0\text{ m} de comprimento, 1{,}5\text{ g/cm}^3 de densidade e 10\text{ kg} de massa homogeneamente distribuída, é parcialmente submersa na piscina ilustrada na figura, em cuja parede (lisa) se apoia, formando um ângulo de 30^\circ com o piso horizontal, cujo coeficiente de atrito com a prancha é 0{,}6\sqrt{3}. Determine para quais alturas y do nível de água a prancha permanece em equilíbrio estático nessa posição.

Prancha inclinada apoiada entre o fundo e a parede vertical de uma piscina, formando ângulo de 30° com a horizontal, parcialmente submersa em água até a altura y

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Resolução comentada

a) Sobre a prancha agem: o peso P=100\ \text{N} no centro (a 2{,}5\ \text{m} de cada ponta), o empuxo E, a normal da parede N_p (horizontal, pois a parede é lisa) e, no apoio A do piso, a normal N e o atrito f.

Empuxo. O volume da prancha é V=\dfrac{10}{1500}=\dfrac{1}{150}\ \text{m}^3. Com a água a uma altura y e a prancha a 30^\circ, o comprimento submerso é \dfrac{y}{\sen 30^\circ}=2y. Essa parte é a fração \dfrac{2y}{5} do volume, para y\le 2{,}5\ \text{m}.

E=\rho_{\text{água}}\,g\,V_{sub}=1000\cdot 10\cdot\frac{2y}{5}\cdot\frac{1}{150}=\frac{80y}{3}\ \text{N}

O empuxo age no ponto médio da parte submersa, a y de A ao longo da prancha. Seu braço horizontal em relação a A é y\cos30^\circ.

Equilíbrio.

  1. Vertical: N=P-E=100-\dfrac{80y}{3}.
  2. Horizontal: f=N_p, com o atrito apontando para a parede.
  3. Torques em relação a A (a parede atua a 2{,}5\ \text{m} de altura):
    2{,}5\,N_p+E\,y\frac{\sqrt3}{2}=100\cdot 2{,}5\cdot\frac{\sqrt3}{2}

    N_p=\sqrt3\left(50-\frac{16}{3}y^2\right)

Condição de não escorregar: f\le\mu N, ou seja,

\sqrt3\left(50-\frac{16}{3}y^2\right)\le 0{,}6\sqrt3\left(100-\frac{80y}{3}\right)

50-\frac{16}{3}y^2\le 60-16y\ \Rightarrow\ 8y^2-24y+15\ge 0

As raízes são y=\dfrac{24\pm\sqrt{96}}{16}=\dfrac{6\pm\sqrt6}{4}, isto é, \approx 0{,}89\ \text{m} e \approx 2{,}11\ \text{m}. A desigualdade vale fora do intervalo entre elas.

Prancha totalmente submersa (y\ge 2{,}5\ \text{m}). Aqui E=\dfrac{200}{3}\ \text{N} é constante, com braço 2{,}5\cos30^\circ. Então N=\dfrac{100}{3}\ \text{N} e N_p=\dfrac{50\sqrt3}{3}\ \text{N}\approx 16{,}7\sqrt3\ \text{N}. O limite de atrito é \mu N=20\sqrt3\ \text{N}, então ela não escorrega. Isso concorda com y\ge 2{,}11\ \text{m}.

Também vale N\ge0, pois E\le 66{,}7\ \text{N}<P.

A prancha fica em equilíbrio para

0\le y\le \dfrac{6-\sqrt6}{4}\approx 0{,}89\ \text{m} ou y\ge \dfrac{6+\sqrt6}{4}\approx 2{,}11\ \text{m} (inclusive com a prancha toda submersa).

Assuntos: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas, Atrito e resistência do ar, Empuxo e princípio de Arquimedes.

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Fonte: ITA 2ª fase 2020 · Física. Prova oficial ↗