PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2019
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Notações
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Sejam a, b e c três números reais em progressão aritmética crescente, satisfazendo
Encontre a menor razão possível para essa progressão aritmética.
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Resolução comentada
a) Escreva a PA com termo central b e razão r>0 (crescente): a=b-r, b e c=b+r.
O jeito mais direto é usar números complexos. Somando as duas condições, com a segunda multiplicada por i:
ou seja, e^{ia}+e^{ib}+e^{ic}=0.
Substituindo a e c:
Como |e^{ib}|=1, nunca é zero. Logo 1+2\cos r=0, isto é, \cos r=-\dfrac12.
O mesmo resultado sai usando a soma de cossenos: \cos a+\cos c=2\cos b\cos r, então \cos b\,(1+2\cos r)=0. Analogamente, \sen b\,(1+2\cos r)=0. Como \cos b e \sen b não se anulam ao mesmo tempo, devemos ter 1+2\cos r=0.
As soluções positivas de \cos r=-\frac12 são r=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi ou r=\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi, com k\ge 0 inteiro. A menor delas é \dfrac{2\pi}{3}.
Verificação: com r=\frac{2\pi}{3}, os três pontos e^{ia},e^{ib},e^{ic} são os vértices de um triângulo equilátero inscrito na circunferência unitária, cuja soma é zero.
A menor razão possível é r=\dfrac{2\pi}{3}.
Assuntos: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas, Progressão aritmética.
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Fonte: ITA 2ª fase 2019 · Matemática. Prova oficial ↗