Questão 5 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2019

Question

Seja F o foco da parábola de equação (y - 5)^2 = 4(x - 7), e sejam A e B os focos da elipse de equação \frac{(x - 4)^2}{9} + \frac{(y - 2)^2}{8} = 1. Determine o lugar geométrico formado pelos pontos P do plano tais que a área do triângulo ABP seja numericamente igual ao dobro da distância de P a F.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2019

Matemática · Matemática: Cônicas e lugares geométricos

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

i : unidade imaginária i^2 = -1

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja F o foco da parábola de equação (y - 5)^2 = 4(x - 7), e sejam A e B os focos da elipse de equação \frac{(x - 4)^2}{9} + \frac{(y - 2)^2}{8} = 1. Determine o lugar geométrico formado pelos pontos P do plano tais que a área do triângulo ABP seja numericamente igual ao dobro da distância de P a F.

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Resolução comentada

Dados dos cônicas

A parábola (y-5)^2=4(x-7) tem vértice (7,5) e 4p=4, ou seja, p=1. Como ela abre para a direita, o foco é F=(8,5).

Na elipse, a^2=9, b^2=8 e o centro é (4,2). Então c^2=9-8=1, ou seja, c=1. O eixo maior é horizontal, e os focos são A=(3,2) e B=(5,2), com AB=2.

Condição do problema

Seja P=(x,y). A base AB está sobre a reta y=2, então a altura de P em relação a ela é |y-2|:

\text{área}(ABP)=\tfrac12\cdot 2\cdot|y-2|=|y-2|.

A condição pedida é |y-2|=2\,PF, isto é:

|y-2|=2\sqrt{(x-8)^2+(y-5)^2}.

Elevando ao quadrado:

(y-2)^2=4(x-8)^2+4(y-5)^2

y^2-4y+4=4(x-8)^2+4y^2-40y+100

4(x-8)^2+3y^2-36y+96=0.

Completando quadrado em y: 3y^2-36y+96=3(y-6)^2-12. Logo:

4(x-8)^2+3(y-6)^2=12\ \Longrightarrow\ \frac{(x-8)^2}{3}+\frac{(y-6)^2}{4}=1.

Verificação

Na elipse obtida, y varia de 4 a 8, então nenhum ponto tem y=2. Assim o triângulo nunca degenera, e a elevação ao quadrado não introduziu pontos indevidos (ambos os lados são não negativos). Teste: P=(8,4) tem área 2 e PF=1, e vale 2=2\cdot1.

O lugar geométrico é a elipse de centro (8,6), semieixo horizontal \sqrt3 e semieixo vertical 2 (eixo maior vertical):

\dfrac{(x-8)^2}{3}+\dfrac{(y-6)^2}{4}=1

Assunto: Cônicas e lugares geométricos.

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Questão 5 no caderno Matemática da 2ª fase do ITA 2019

Fonte: ITA 2ª fase 2019 · Matemática. Prova oficial ↗