Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2019

Question

Sabendo que x pertence ao intervalo fechado [1, 64], determine o maior valor da função

f(x) = (\log_2 x)^4 + 12(\log_2 x)^2 \cdot \log_2 \left(\frac{8}{x}\right).

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

i : unidade imaginária i^2 = -1

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Sabendo que x pertence ao intervalo fechado [1, 64], determine o maior valor da função

f(x) = (\log_2 x)^4 + 12(\log_2 x)^2 \cdot \log_2 \left(\frac{8}{x}\right).

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Resolução comentada

a) Faça t = \log_2 x. Como x \in [1, 64], temos t \in [0, 6].

Como \log_2\left(\frac{8}{x}\right) = 3 - t, a função fica

f = t^4 + 12t^2(3 - t) = t^4 - 12t^3 + 36t^2.

O polinômio tem uma forma conveniente:

f = t^2\,(t^2 - 12t + 36) = t^2 (t-6)^2 = \big[t(t-6)\big]^2.

Agora estudamos g(t) = t(t-6) = t^2 - 6t em [0, 6]. É uma parábola com raízes 0 e 6 e vértice em t = 3, onde g(3) = -9.

No intervalo, g varia de -9 a 0, então g^2 varia de 0 a 81. O maior valor de g^2 ocorre onde |g| é máximo, ou seja, em t = 3.

Para conferir pela derivada: f'(t) = 4t(t-3)(t-6). Os pontos críticos são 0, 3 e 6, com f(0) = f(6) = 0 e f(3) = 81 - 324 + 324 = 81.

O máximo ocorre em t = 3, isto é, x = 2^3 = 8, que pertence a [1, 64].

O maior valor de f é 81 (atingido em x = 8).

Assunto: Logaritmos e função logarítmica.

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Fonte: ITA 2ª fase 2019 · Matemática. Prova oficial ↗