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Questão 3 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2019

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

i : unidade imaginária i^2 = -1

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Determine o número complexo z de menor argumento que satisfaz |z - 25i| \le 15.

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Resolução comentada

a) A condição |z-25i|\le 15 descreve o disco fechado de centro C=(0,25) e raio 15. Todos os pontos do disco têm ordenada entre 10 e 40, ou seja, ficam no semiplano superior. Assim, o argumento de z está em (0,\pi) e o menor argumento ocorre no ponto do disco que é visto sob o menor ângulo a partir do eixo real positivo.

Esse ponto é o de tangência da reta que passa pela origem e tangencia o disco pelo lado direito, onde \text{Re}(z)>0.

Seja T o ponto de tangência. O raio CT é perpendicular à tangente OT, então o triângulo OTC é retângulo em T, com OC=25 e CT=15. Logo:

OT=\sqrt{25^2-15^2}=20.

Seja \alpha o argumento de T. O ângulo \theta entre OT e o eixo imaginário satisfaz \sen\theta=\dfrac{15}{25}=\dfrac35 e \cos\theta=\dfrac45. Como \alpha=\dfrac{\pi}{2}-\theta, temos:

\cos\alpha=\sen\theta=\frac35,\qquad \sen\alpha=\cos\theta=\frac45.

Portanto:

z=20\left(\frac35+\frac45 i\right)=12+16i.

Verificação: |12+16i-25i|=|12-9i|=\sqrt{144+81}=15, então z está na borda do disco, como esperado.

z=12+16i

Assunto: Números complexos.

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Fonte: ITA 2ª fase 2019 · Matemática. Prova oficial ↗