Questão 2 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2019

Question

Determine todas as soluções da equação \sen^6 x + \cos^6 x = \frac{7}{12}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

i : unidade imaginária i^2 = -1

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Determine todas as soluções da equação \sen^6 x + \cos^6 x = \frac{7}{12}.

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Resolução comentada

a) Use a identidade da soma de cubos com a=\sen^2 x e b=\cos^2 x, em que a+b=1:

\sen^6 x+\cos^6 x=(a+b)^3-3ab(a+b)=1-3\sen^2 x\cos^2 x.

Como \sen x\cos x=\tfrac{1}{2}\sen 2x, temos \sen^2 x\cos^2 x=\tfrac14\sen^2 2x. Logo:

1-\frac34\sen^2 2x=\frac{7}{12}\ \Rightarrow\ \frac34\sen^2 2x=\frac{5}{12}\ \Rightarrow\ \sen^2 2x=\frac59.

Para escrever a solução de forma compacta, passe para o arco quádruplo:

\cos 4x=1-2\sen^2 2x=1-\frac{10}{9}=-\frac19.

Assim, 4x=\pm\arccos\left(-\tfrac19\right)+2k\pi, com k\in\mathbb{Z}, e portanto:

x=\pm\frac14\arccos\left(-\frac19\right)+\frac{k\pi}{2}.

A equação \cos 4x=-\tfrac19 é equivalente a \sen^2 2x=\tfrac59, porque \cos 4x=1-2\sen^2 2x. Então não há soluções estranhas nem perdidas.

A mesma família pode ser escrita como x=\pm\tfrac12\arcsen\left(\tfrac{\sqrt5}{3}\right)+\tfrac{k\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}.

Resposta: x=\pm\dfrac14\arccos\left(-\dfrac19\right)+\dfrac{k\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}.

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Fonte: ITA 2ª fase 2019 · Matemática. Prova oficial ↗