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Questão 18 do IME 2027

Prova objetiva · Física

Duas roldanas circulares e engrenadas entre si estão suspensas por hastes verticais presas aos seus centros. A roldana da esquerda tem massa m e raio r, com um fio descendo pela sua lateral esquerda sustentando uma esfera com carga -Q. A roldana da direita tem massa 2m e raio 2r, com um fio descendo pela sua lateral direita sustentando uma esfera com carga +3Q. Abaixo das roldanas há um plano horizontal infinito uniformemente carregado com cargas positivas, gerando campo elétrico E. O fio com a carga +3Q atravessa o plano através de um pequeno orifício.

Conforme mostra a figura, duas roldanas em forma de anel, inicialmente em repouso, estão engrenadas e, ao iniciarem seus movimentos, cada fio é enrolado ou desenrolado à mesma velocidade escalar dos pontos do perímetro de sua respectiva roldana. Nas extremidades dos fios, existem partículas carregadas penduradas na vertical, ambas sujeitas a um campo elétrico gerado por um plano horizontal infinito uniformemente carregado, com um pequeno furo o suficiente para um dos fios passar.

Dados:
• massas das roldanas: m e 2m;
• o raio de uma roldana é o dobro do raio da outra;
• módulo do campo elétrico vertical: E;
• cargas das partículas eletrizadas: -Q e +3Q.

Observações:
• as massas das partículas são desprezíveis;
• as massas das roldanas estão uniformemente distribuídas;
• as roldanas estão sustentadas por hastes presas ao teto nos respectivos centros;
• as roldanas giram sempre em torno de seus centros e sem atrito;
• o segmento que liga os dois centros das roldanas é paralelo ao plano carregado.

Ao ser iniciado o movimento das roldanas, pelo princípio da conservação da energia, a aceleração do fio que sustenta a carga positiva é:

  1. A
    \frac{2\text{ }EQ}{7\text{ }m}
  2. B
    \frac{4\text{ }EQ}{3\text{ }m}
  3. C
    \frac{8\text{ }EQ}{7\text{ }m}
  4. D
    \frac{8\text{ }EQ}{3\text{ }m}
  5. E
    \frac{2\text{ }EQ}{3\text{ }m}
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Resolução comentada

O plano infinito positivo gera campo uniforme de módulo E, apontando para cima acima do plano e para baixo abaixo dele.

A carga -Q está acima do plano. A força sobre ela é oposta ao campo (que sobe), então aponta para baixo, com módulo QE.

A carga +3Q está abaixo do plano. O campo ali aponta para baixo, e a força sobre a carga positiva também, com módulo 3QE.

As duas forças puxam os fios para baixo. As roldanas engrenadas giram em sentidos opostos. Pela figura, o fio da esquerda desce pelo lado esquerdo da roldana menor e o da direita desce pelo lado direito da maior. Se a roldana da esquerda gira no sentido anti-horário, o fio da esquerda desce. A da direita então gira no sentido horário, e o fio da direita também desce. Logo as duas forças favorecem o movimento, sem se oporem.

As velocidades dos fios são iguais à velocidade do ponto de contato das engrenagens: v_1=v_2=v. Os dois fios têm a mesma velocidade escalar.

As partículas têm massa desprezível, então a energia cinética está só nas roldanas, que são anéis (I=MR^2):

  1. Menor: K_1=\frac12 m r^2\omega_1^2=\frac12 m v^2
  2. Maior: K_2=\frac12 (2m)(2r)^2\omega_2^2=\frac12 (2m) v^2=m v^2
  3. Total: K=\frac32 m v^2

O trabalho das forças elétricas para um deslocamento d dos fios é W=(QE+3QE)d=4QEd.

Pela conservação da energia:

4QEd=\frac32 m v^2

Derivando em relação ao tempo, com \dot d=v:

4QE\,v=3m\,v\,a \Rightarrow a=\frac{4QE}{3m}

Essa é a aceleração dos fios, inclusive o da carga positiva.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa momentos de inércia ou massas inadequados, sem tratar corretamente as energias cinéticas das duas roldanas.
  • CCombina mal as energias das roldanas, dando um denominador 7m que não aparece no balanço correto.
  • DDobra o resultado, esquecendo o fator 1/2 da energia cinética.
  • EConsidera só uma das forças elétricas, ou subtrai as forças em vez de somá-las.

Assuntos: conservação da energia, campo elétrico de plano infinito, momento de inércia.

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Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗