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Questão 19 do IME 2027

Prova objetiva · Física

Gráfico de linhas curvas relacionando a velocidade no referencial inercial (eixo horizontal, de 0,3 c a 0,9 c) com a velocidade relativa ao referencial em movimento (eixo vertical, de 0,1 c a 0,9 c), para diversas velocidades do referencial em movimento variando de 0,3 c a 0,9 c.

A figura mostra a transformação de Lorentz para diversas velocidades (0{,}3\text{ }c a 0{,}9\text{ }c) de um referencial em movimento em relação a um referencial inercial. Essa transformação é usada para calcular a velocidade relativa (eixo vertical) de um outro objeto se movimentando no mesmo sentido do referencial que está em alta velocidade (0{,}3\text{ }c a 0{,}9\text{ }c). O eixo horizontal exibe uma escala de velocidade em relação ao referencial inercial e o eixo vertical informa a velocidade relativa entre objeto e o referencial em movimento.

Uma nave X e uma nave Y viajam, nos mesmos sentido e direção. A nave X se aproxima de uma fonte de luz parada em relação a um referencial inercial, enquanto que a nave Y se afasta da fonte. Ambas as naves portanto percebem comprimentos de onda diferentes daquele emitido pela fonte.

Dados:
• comprimento de onda emitido pela fonte parada no referencial inercial: \lambda;
• comprimento de onda percebido pela nave X: \lambda/2;
• comprimento de onda percebido pela nave Y: 3\lambda;
• velocidade da luz: c.

Observação:
• a fonte e as naves estão sempre colineares.

Com as informações descritas, conclui-se que o módulo da velocidade relativa entre as naves é de aproximadamente:

  1. A
    0{,}20\text{ }c
  2. B
    0{,}15\text{ }c
  3. C
    0{,}75\text{ }c
  4. D
    0{,}92\text{ }c
  5. E
    0{,}39\text{ }c
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Resolução comentada

Use o efeito Doppler relativístico longitudinal: \lambda_{obs}=\lambda\sqrt{\dfrac{1+\beta}{1-\beta}} para afastamento, e o inverso para aproximação.

Nave X (aproxima-se): \lambda/2=\lambda\sqrt{\dfrac{1-\beta}{1+\beta}}. Elevando ao quadrado: \dfrac{1-\beta}{1+\beta}=\dfrac14, então 4-4\beta=1+\beta e \beta_X=0{,}6.

Nave Y (afasta-se): 3\lambda=\lambda\sqrt{\dfrac{1+\beta}{1-\beta}}. Elevando ao quadrado: \dfrac{1+\beta}{1-\beta}=9, então 1+\beta=9-9\beta e \beta_Y=0{,}8.

Como as naves viajam no mesmo sentido e direção, X se aproxima da fonte e Y se afasta dela. Os dois movimentos têm o mesmo sentido, então no referencial da fonte as velocidades são v_X=0{,}6c e v_Y=0{,}8c, ambas no mesmo sentido, com a fonte atrás de uma e na frente da outra. Para a nave X, a fonte é vista à frente se aproximando. Para a nave Y, a fonte fica para trás, afastando-se. Logo as duas se movem no mesmo sentido.

Velocidade relativa, pela composição relativística:

u=\frac{0{,}8c-0{,}6c}{1-0{,}6\cdot0{,}8}=\frac{0{,}2c}{0{,}52}\approx0{,}385c\approx0{,}39c

Isso confere com o gráfico: na curva de 0{,}6c, o ponto de 0{,}8c no eixo horizontal está em cerca de 0{,}38c no vertical.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa A engana quem subtrai 0{,}8c-0{,}6c pela relatividade galileana, esquecendo o denominador 1-\beta_X\beta_Y.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubtrai as velocidades de forma clássica (0{,}8c-0{,}6c), sem a correção relativística.
  • BValor sem relação com as contas; não resulta da composição de velocidades.
  • CUsa velocidades erradas de Doppler ou soma em sentidos opostos de modo incorreto.
  • DCompõe as velocidades como se fossem em sentidos opostos: 1{,}4c/1{,}48\approx0{,}95c, não 0{,}92c.

Assuntos: efeito Doppler relativístico, composição relativística de velocidades.

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Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗