PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 do IME 2027

Prova objetiva · Física

Órbita elíptica tracejada, com eixo maior horizontal e eixo menor vertical indicados por linhas pontilhadas que se cruzam no centro O. O ponto B está na extremidade superior do eixo menor. A estrela S é representada por um círculo preto à direita de O, sobre o eixo maior, e o planeta P por um ponto preto na região superior direita da órbita.

Cientistas estudaram a órbita de um planeta distante P em torno de uma estrela S e concluíram que a razão entre as distâncias de S ao apoastro e de S ao periastro de P é de 9/4.

Portanto, o valor que mais se aproxima da razão entre as energias potenciais gravitacionais de P no apoastro e no ponto B da órbita, mostrado na figura, é:

  1. A
    \frac{5}{7}
  2. B
    \frac{5}{18}
  3. C
    \frac{13}{18}
  4. D
    \frac{2}{3}
  5. E
    \frac{4}{7}
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Resolução comentada

A energia potencial gravitacional é U=-\dfrac{GMm}{r}, onde r é a distância entre o planeta e a estrela. Então a razão entre as energias em dois pontos é o inverso da razão entre as distâncias: \dfrac{U_A}{U_B}=\dfrac{r_B}{r_A}.

Para a elipse com semieixo maior a, o apoastro está a r_A=a(1+e) e o periastro a r_P=a(1-e) da estrela, que ocupa um foco.

  1. Pelo enunciado: \dfrac{1+e}{1-e}=\dfrac{9}{4}.
  2. Então 4+4e=9-9e, logo 13e=5 e e=\dfrac{5}{13}.
  3. O ponto B é a extremidade do eixo menor. Sua distância a cada foco é igual a a, pois a soma das distâncias aos dois focos vale 2a e, por simetria, as duas são iguais. Logo r_B=a.
  4. A distância ao apoastro é r_A=a(1+e)=a\cdot\dfrac{18}{13}.
  5. A razão pedida é:
\frac{U_A}{U_B}=\frac{r_B}{r_A}=\frac{a}{a\cdot 18/13}=\frac{13}{18}

Como ambas as energias são negativas, a razão é positiva e vale \dfrac{13}{18}\approx 0{,}72.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa que engana é a inversão da razão: como U é inversamente proporcional a r, quem faz r_A/r_B=18/13 ou esquece que r_B=a erra.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com r_B/r_A; não sai de e=5/13 e r_A=18a/13.
  • BNão corresponde à razão correta das distâncias; mistura valores de e e de a sem fundamento.
  • DValor aproximado sem base nas distâncias; ignora que r_B=a e r_A=18a/13.
  • ETomaria distâncias erradas, como a razão entre periastro e apoastro (4/9) misturada; não resulta do cálculo.

Assuntos: energia potencial gravitacional, elipse e excentricidade, leis de Kepler.

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Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗