PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 24 do IME 2023

Prova objetiva · Física

Esquema de duas roldanas em forma de anel, encostadas uma na outra, sustentadas pelos centros por hastes presas ao teto, indicadas pelo texto “hastes que sustentam as roldanas”. A roldana menor, à esquerda, tem massa $m$ e raio $r$; a maior, à direita, tem massa $2m$ e raio $2r$. Um fio sai verticalmente do lado esquerdo da roldana menor e sustenta uma partícula de massa $m$ e carga $-Q$. Uma seta vertical para baixo indica $\vec{g}$. Abaixo da partícula há um plano horizontal com sinais positivos e a indicação $\vec{E}$.

Uma partícula de carga negativa, inicialmente em repouso, está sujeita ao seu peso e ao campo elétrico \vec{E} vertical constante provocado por um plano infinito eletrizado. Como mostrado na figura, a partícula está presa por um fio ideal não condutor enrolado a uma roldana em forma de anel. Essa roldana pode girar de forma solidária a uma outra roldana com o dobro da massa e o dobro do raio. Ao girar, o fio é desenrolado à mesma velocidade escalar dos pontos do perímetro da roldana menor.

Dados:

  • aceleração da gravidade: g;
  • módulo do campo elétrico vertical: E;
  • massa da partícula: m;
  • massa da roldana menor: m;
  • massa da roldana maior: 2m;
  • carga da partícula: -Q;
  • raio da roldana menor: r;
  • raio da roldana maior: 2r.

Observações:

  • as roldanas estão sustentadas por hastes presas do teto aos respectivos centros;
  • as roldanas giram sempre em torno de seus centros e sem atrito;
  • todos os pontos do anel de cada roldana sempre estão à mesma velocidade escalar;
  • toda a massa de cada roldana está igualmente distribuída em seu respectivo perímetro.

Pelo princípio da conservação da energia, conclui-se que a aceleração da partícula eletrizada, ao iniciar seu movimento, é:

  1. A
    \dfrac{(mg+EQ)}{2m}
  2. B
    \dfrac{(mg+EQ)}{4m}
  3. C
    \dfrac{3(mg+EQ)}{4m}
  4. D
    \dfrac{9(mg+EQ)}{4m}
  5. E
    \dfrac{(mg+EQ)}{8m}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O plano inferior tem cargas positivas, então atrai a partícula de carga -Q para baixo. A força elétrica é EQ, para baixo, e soma-se ao peso. A força resultante que acelera o sistema é F = mg + EQ.

As roldanas estão encostadas, e os pontos dos perímetros têm a mesma velocidade escalar. Se a partícula desce com velocidade v, a roldana menor tem pontos do perímetro com v. A roldana maior, em contato com ela, também tem v no perímetro. Cada roldana é um anel, com I = MR^2, e a energia cinética de rotação é \frac{1}{2}MR^2\omega^2 = \frac{1}{2}Mv^2.

Energia cinética total para velocidade v:

  1. Partícula: \frac{1}{2}mv^2
  2. Roldana menor: \frac{1}{2}mv^2
  3. Roldana maior: \frac{1}{2}(2m)v^2 = mv^2

Soma: E_c = 2mv^2 = \frac{1}{2}(4m)v^2. A massa equivalente é 4m.

Conservação da energia: o trabalho das forças ao descer h vale (mg+EQ)h = 2mv^2. Derivando em relação ao tempo, com v = dh/dt:

(mg+EQ)\,v = 4m\,v\,a \Rightarrow a = \frac{mg+EQ}{4m}

O fio é ideal e as roldanas não têm atrito. A haste só fornece força que não realiza trabalho.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera massa equivalente 2m, esquecendo a energia de rotação da roldana maior (ou usando só partícula e roldana menor).
  • CNão corresponde a nenhuma massa equivalente correta; fator 3/4 sem justificativa.
  • DMultiplica por fatores de raio ao quadrado, esquecendo que a energia cinética do anel só depende de Mv^2.
  • EUsa massa equivalente 8m, contando a energia de rotação em dobro.

Assuntos: conservação da energia, momento de inércia de anel, força elétrica.

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Fonte: IME 2023 · Prova objetiva. Prova oficial ↗