PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 do IME 2026

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Inequações e desigualdades

Sejam x, y e z inteiros positivos tais que x + y + z = 117. Um possível valor do produto x \cdot y \cdot z é:

  1. A
    60327
  2. B
    60117
  3. C
    59321
  4. D
    59319
  5. E
    59317
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Resolução comentada

Para somas fixas de inteiros positivos, o produto tem um valor máximo, dado pela desigualdade entre as médias aritmética e geométrica (MA ≥ MG):

\sqrt[3]{xyz}\le \frac{x+y+z}{3}=\frac{117}{3}=39

Logo, xyz\le 39^3.

  1. Calculando: 39^2=1521 e 1521\cdot 39=59319.
  2. Então xyz\le 59319, com igualdade quando x=y=z=39. Esses valores são inteiros positivos e somam 117, então 59319 é de fato atingido.
  3. As alternativas A, B e C (60327, 60117 e 59321) são maiores que 59319 e, portanto, impossíveis.
  4. Resta conferir a E, 59317. Fatorando, 59317=23\cdot 2579, e 2579 é primo. Os únicos produtos de três inteiros positivos que dão 59317 têm fatores \{1,1,59317\} ou \{1,23,2579\}, com somas 59319 e 2603. Nenhuma é 117.

Portanto, o único valor possível é 59319.

Alternativa D.

Pegadinha: As alternativas C e E ficam muito perto do máximo 59319; só a fatoração de 59317 e a comparação com o máximo permitem descartá-las.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A60327 passa do máximo possível, 39^3=59319.
  • B60117 também é maior que o máximo 59319.
  • C59321 passa do máximo por apenas 2 unidades, mas é impossível.
  • E59317=23\cdot2579, com 2579 primo; nenhuma trinca de fatores soma 117.

Assunto: Inequações e desigualdades.

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Fonte: IME 2026 · Prova objetiva. Prova oficial ↗