Questão 3 do IME 2026

Escreva os dois números na forma polar. O número z=\frac{-\sqrt{3}+i}{2} tem módulo \sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=1 e argumento 150^\circ (cosseno -\frac{\sqrt3}{2}, seno \frac12). Já w=\frac{-\sqrt{3}-i}{2} também tem módulo 1 e argumento 210^\circ, que é o conjugado de z.

Pela fórmula de De Moivre, z^n=\cos(150^\circ n)+i\,\sen(150^\circ n) e w^n=\cos(150^\circ n)-i\,\sen(150^\circ n).

A diferença é z^n-w^n=2i\,\sen(150^\circ n). A equação z^n=w^n+2i equivale a z^n-w^n=2i, ou seja:

Precisamos de 150^\circ n=90^\circ+360^\circ k. Dividindo por 30: 5n=3+12k, ou 5n\equiv 3 \pmod{12}.

Testando n positivo:

1. n=1: 5\equiv5, não.
2. n=2: 10, não.
3. n=3: 15\equiv3, sim.

Conferindo: 150^\circ\cdot3=450^\circ=90^\circ+360^\circ, e \sen 450^\circ=1. Logo n=3 é o menor.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ACom n=1 a diferença z-w=i, e não 2i; \sen150^\circ=\frac12\neq1.
• BCom n=2, \sen300^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}, que não vale 1.
• DCom n=5, \sen750^\circ=\sen30^\circ=\frac12, não serve (e além disso não é o menor).
• ECom n=7, \sen1050^\circ=\sen330^\circ=-\frac12, não serve.

Assuntos: Números complexos, Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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