Questão 2 do IME 2026

Question

Uma relação binária R sobre um conjunto S é dita antissimétrica se somente se para quaisquer x e y elementos de S, sempre que (x,y) \in R e (y,x) \in R, então x = y. O número de relações binárias antissimétricas existentes sobre um conjunto com n elementos é:

A
2^n
B
2^{\frac{n^2+n}{2}}
C
2^{n^2} \cdot 3^{\frac{n}{2}}
D
2^n \cdot 3^{\frac{n^2-n}{2}}
E
2^n \cdot 3^{\frac{n^2+n}{2}}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 do IME 2026

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Uma relação binária R sobre um conjunto S é dita antissimétrica se somente se para quaisquer x e y elementos de S, sempre que (x,y) \in R e (y,x) \in R, então x = y. O número de relações binárias antissimétricas existentes sobre um conjunto com n elementos é:

A
2^n
B
2^{\frac{n^2+n}{2}}
C
2^{n^2} \cdot 3^{\frac{n}{2}}
D
2^n \cdot 3^{\frac{n^2-n}{2}}
E
2^n \cdot 3^{\frac{n^2+n}{2}}

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Resolução comentada

Uma relação binária sobre S é um subconjunto de S\times S, que tem n^2 pares. Basta contar de quantas formas cada par pode estar ou não em R, respeitando a antissimetria.

Pares da diagonal (x,x): são n pares. Eles não criam restrição, pois (x,x) e (x,x) levam a x=x, que é sempre verdade. Cada um pode estar ou não em R: 2 opções, totalizando 2^n.
Pares fora da diagonal: há n^2-n pares, que se agrupam em \frac{n^2-n}{2} duplas \{(x,y),(y,x)\} com x\neq y.
Cada dupla: a antissimétrica proíbe que os dois pares estejam em R ao mesmo tempo, pois isso exigiria x=y. Sobram 3 possibilidades: nenhum dos dois, só (x,y) ou só (y,x). Isso dá 3^{\frac{n^2-n}{2}}.
Princípio multiplicativo: as escolhas são independentes, então

2^n\cdot 3^{\frac{n^2-n}{2}}

Teste com n=2: 2^2\cdot 3^{1}=12. De fato, são 16 relações possíveis e só as 4 que contêm (a,b) e (b,a) juntos ficam de fora (2^2 escolhas na diagonal), restando 16-4=12. Confere.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aconta só os pares da diagonal e ignora os pares fora dela.
Bdá 2 opções a cada dupla simétrica, sem aplicar a restrição de antissimetria (e o expoente conta a diagonal junto).
Cusa 2^{n^2}, que é o total de relações sem restrição, e um expoente sem sentido para os 3 casos.
Eusa expoente \frac{n^2+n}{2}, contando a diagonal também como duplas com 3 opções.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 2 no caderno Prova objetiva do IME 2026

Fonte: IME 2026 · Prova objetiva. Prova oficial ↗